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\chapter{Phénomènes aléatoires}

% 1 exo type par chapitre ou 1 par section si besoin


\section{Fréquence marginale-Fréquence conditionnelle}
\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
Un restaurant effectue un sondage auprès de ses clients d'une journée pour savoir s'ils sont très satisfaits, satisfaits ou non satisfaits des repas à emporter et des repas sur place. On donne les résultats du sondage dans le tableau suivant :

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}c|c|c|c|c|}
\hline
\tabulartitle  & Très satisfaits & Satisfaits&Non satisfaits& Total \\\hline
Sur place & 10 & 12 &8&30 \\ \hline
À emporter & 14 & 21 &15&50 \\ \hline
Total & 24 & 33& 23&80 \\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{questions}
\item Combien y a-t-il de personnes satisfaites par leur plat à emporter.
\item On considère le nombre $\dfrac{21}{50}$. Exprimer ce nombre à l'aide d'un pourcentage. Que représente-t-il ?
\item Calculer la fréquence marginale des clients ayant pris un repas sur place.
\item Calculer la fréquence conditionnelle des clients très satisfaits parmi ceux ayant pris un repas sur place.
\item Suite à ce sondage, le gérant du restaurant affirme que les clients prenant un repas à emporter sont plus souvent très satisfaits que ceux qui prennent un repas sur place. A-t-il raison ?
\end{questions}
\end{exointro}



\begin{defin}[Fréquence marginale]
La \textit{fréquence marginale} d'une valeur est le quotient de l'effectif total de cette valeur par l'effectif total.
\end{defin}

\begin{Exemple}
le tableau page suivante donne la répartition des élèves de première et de terminale d'un lycée :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle  & générale & techno& Total \\\hline
Première & 174& 96 & 270 \\ \hline
Terminale & 208& 84 & 292 \\ \hline
Total & 382 & 180 & 562   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Sur l'ensemble des 562 élèves du lycée, 382 sont en filière générale. La fréquence marginale de la valeur "générale" est donc égale à $\dfrac{382}{562}=\dfrac{191}{281} \approx 0,6797$ soit environ 67,97 \%.
\end{Exemple}

\begin{defin}[Fréquence conditionnelle]
La \textit{fréquence conditionnelle} de la valeur A parmi B notée $f_B(A)$ correspond à la fréquence du caractère A dans la sous-population vérifiant le caractère B.
\end{defin}

\begin{Exemple}
dans l'exemple précédent parmi les 270 élèves de première, 174 sont en filière générale. Donc la fréquence conditionnelle des élèves de filière générale parmi les élèves de première est $\dfrac{174}{270}=\dfrac{29}{45} \approx 0,6444$ soit environ 64,44 \%.
\end{Exemple}


\begin{solintro}

\begin{itemize}
\item 21 personnes sont satisfaites de leur repas à emporter.
\item Le nombre $\dfrac{21}{50}=0,42$ soit 42 \% représente les personnes satisfaites parmi celles ayant pris des repas à emporter.
\item La fréquence marginale des clients ayant pris un repas sur place est $\dfrac{30}{80}=\dfrac{3}{8}$.
\item La fréquence conditionnelle des clients très satisfaits parmi ceux ayant pris un repas sur place est $\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3} \approx 0,33$.
\item La fréquence conditionnelle des clients très satisfaits parmi ceux ayant pris un repas à emporter est $\dfrac{14}{50}=0,28$. $0,28<0,33$ donc le restaurateur a tort.
\end{itemize}
\end{solintro}

\section{Probabilité conditionnelle et arbre pondéré}

\begin{exointro}{Lycée Virlogeux, Riom}
Lors d'une course cyclosportive, $70\,\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.

Aucun participant n'abandonne la course.

\begin{itemize}
\item Parmi les licenciés, $66\,\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en plus de 5 heures.
\item Parmi les non licenciés, $83\,\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres en moins de 5 heures.
\end{itemize}

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:

\begin{itemize}
\item $L$ l'évènement \og le cycliste est licencié dans un club\fg{} et $\overline{L}$ son évènement contraire,
\item $M$ l'évènement \og le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures\fg{} et $\overline{M}$ son évènement contraire.
\end{itemize}

\begin{questions}
\item À l'aide des données de l'énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\overline{L}}\left (\overline{M}\right )$.
\item  Construire l'arbre pondéré suivant représentant la situation.

\item  Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
\item Déterminer $P(M)$.
\item Un organisateur affirme qu'au moins $90\,\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club. A-t-il raison? Justifier la réponse.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Probabilités conditionnelles}

\begin{defin}[probabilité de A sachant B]
A et B sont deux évènements d'un même univers $\Omega$, tels que $p(A) \neq 0$.
La \textit{probabilité de l'évènement B sachant A}, notée $p_A(B)$ est :
\[p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} \]
\end{defin}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item La probabilité de B sachant A est la probabilité que B soit réalisé dans l'univers A.
\item Dans une situation d'\textbf{équiprobabilité} on a :
\[p_A(B)=\dfrac{\text{nombre d'évènements élémentaires de } A\cap B}{\text{nombre d'évènements élémentaires de } A} \]
\end{itemize}
\end{Remarques}

\begin{aretenir}
Pour calculer $p_A(B)$, vous pouvez:
\begin{itemize}
\item soit utiliser la définition si vous connaissez $p(A\cap B)$ et $p(A)$.
\item soit déterminer les résultats qui réalisent A et, parmi ceux-ci, calculer la probabilité de ceux qui réalisent $B$.
\end{itemize}
\end{aretenir}

\begin{prop}
Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles. Alors :
\[p(A\cap B)=p_A(B) \times p(A)=p_B(A) \times p(B)\]
\end{prop}

\begin{thm}
Soient A et B deux évènements avec $P(A) \neq 0$. Alors :
\[p_A(B) +p_A(\overline{B})=1 \]
\end{thm}

\subsection{Arbre pondéré}

On peut représenter une expérience aléatoire par un arbre pondéré de probabilités.

Un arbre pondéré de probabilité est constitué de branches.

Les évènements élémentaires $A$,$\overline{A}$,$B$ et $\overline{B}$ s'appellent des noeuds.

$\overline{A}$ est l'évènement contraire de $A$.

\begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$P(A)$}}
	                        {
	                        \TR{$B$}\naput{$p_A(B)$}
			                \TR{$\overline{B}$}\nbput{$p_A(\overline{B})$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$P(\overline{A})$}}
	                        {
	                        \TR{$B$}\naput{$p_{\overline{A}}(B)$}
			                \TR{$\overline{B}$}\nbput{$p_{\overline{A}}(\overline{B})$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}

\begin{aretenir}
\begin{itemize}
\item Dans un arbre la somme des probabilités sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1.
\item La probabilité d'un chemin (suite de branches décrivant une succession d'évènements) est égale au produit des probabilités situées sur les branches qui le composent.
\item La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui mènent à cet évènement.
On a \[P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=P(A) \times p_A(B) +P(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(B) \]
\end{itemize}
\end{aretenir}

\begin{solintro}

\begin{questions}
\item $P(L)$ représente la probabilité que le cycliste soit licencié. 70\% des participants sont licenciés donc $P(L)=0,7$.
Parmi les licenciés, $66\,\%$ font le parcours en moins de 5 heures donc $P_L(M)=0,66$.
Parmi les non licenciés, $83\,\%$ font le parcours en plus de 5 heures donc  $P_{\overline{L}}\left (\overline{M}\right )=0,83$.
\item  L'arbre pondéré suivant représentant la situation est le suivant.

\begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$L$}\naput{$0,7$}}
	                        {
	                        \TR{$M$}\naput{$0,66$}
			                \TR{$\overline{M}$}\nbput{$0,34$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{L}$}\nbput{$0,3$}}
	                        {
	                        \TR{$M$}\naput{$0,17$}
			                \TR{$\overline{M}$}\nbput{$0,83$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}
\item  La probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures est $P(L\cap M)=P(L) \times P_L(M)=0,7 \times 0,66 =0,462$.
\item $P(M)=P(L\cap M)+P(\overline{L}\cap M)=P(L) \times p_L(M) +P(\overline{L}) \times p_{\overline{L}}(M)=0,7\times 0,66+0,3\times 0,17=0,513$
\item  On calcule $P_M(L)=\dfrac{P(M\cap L)}{P(M)}=\dfrac{0,462}{0,513} \approx 0,9006$. Donc un peu plus de 90\% des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club.
\end{questions}
\end{solintro}


\section{Indépendance en probabilité de deux évènements}



\subsection{Évènements indépendants}

\begin{defin}
Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont \textit{indépendants} lorsque $p_A(B)=P(B)$
\end{defin}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Si $B$ est indépendant de $A$ alors $A$ est indépendant de $B$ et $P(A\cap B)=P(A) \times P(B)$.
\item Si $A$ et $B$ sont indépendants alors $\overline{A}$ et $B$, $A$ et $\overline{B}$, et $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi.
\end{itemize}
\end{prop}

\subsection{Successions d'épreuves indépendantes}

\begin{defin}
Des expériences aléatoires qui se succèdent sont \textit{indépendantes} si le résultat de chacune n'influe par sur le résultat des autres. On peut alors modéliser cette succession d'épreuves par un arbre dont les sous-arbres associés à la deuxième épreuve sont identiques.
\end{defin}

\begin{Exemple}
on lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces et on note les numéros obtenus.
On note $S$ l'événement "le numéro obtenu est le 6".
Le résultat du lancer du premier dé n'influence pas le résultat du deuxième lancer. On peut modéliser cette succession d'épreuves indépendantes par un arbre pondéré.

\begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\naput{$\frac{1}{6}$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$\frac{1}{6}$}
			                \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{5}{6}$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{5}{6}$}}
	                        {
	                        \TR{$S$}\naput{$\frac{1}{6}$}
			                \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\frac{5}{6}$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}
La probabilité d'obtenir un seul 6 est :
\[p=P(S;\overline{S})+P(\overline{S};S)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{18} \]

\end{Exemple}




