\begin{questions}
\item Déterminer la loi de probabilité associée à cette
expérience aléatoire, c'est
donner l'ensemble des résultats possibles de l'expérience aléatoire
et, pour chaque résultat, la probabilité associée.
        \par
Comme on tire successivement deux boules, les résultats possibles
sont les couples dont la première composante correspond à la boule
obtenue au premier tirage et la deuxième composante correspond à la
boule obtenue au deuxième tirage.
Si on désigne la boule rouge par $R$, la verte par $V$ et la bleue
par $B$, on a :
\begin{multline*}
  \Omega= \{ (R,R), (R,V), (R,B), (V,R), (V,V), (V,B), (B,R),\\ (B,V),
  (B,B)\}
\end{multline*}

Les boules sont indiscernables au toucher, elles ont donc toutes la
même probabilité d'être tirées et on est en situation
d'équiprobabilité.
Comme il existe 9 résultats possibles à cette expérience aléatoire,
la probabilité de chacun des résultats est $\dfrac{1}{9}$.


\item
\begin{questions}
\item La variable aléatoire $T$ peut prendre les valeurs:
\begin{itemize}
\item $-6$ (quand on tire deux boules bleues),
\item $-2$ (quand on tire une boule rouge et une bleue),
\item $-1$ (quand on tire une boule verte et une bleue),
\item $+2$ (quand on tire deux boules rouges),
\item $+3$ (quand on tire une boule rouge et une verte),
\item $+ 4$ (quand on tire deux boules vertes).
\end{itemize}
Il existe un seul couple correspondant au tirage de deux boules
bleues donc :
\[ P(T=-6) = \frac{1}{9}. \]
Il existe deux couples correspondant au tirage d'une rouge et d'une
bleue : $(R,B)$ et $(B,R)$ donc :
\[ P(T=-2) = \frac{2}{9}. \]
En raisonnant de même, on obtient :
\begin{align*}
  P(T= -1) = \dfrac{2}{9}\quad, &  \quad  P(T=2) = \dfrac{1}{9},\\
  P(T=3) = \dfrac{2}{9}\quad, & \quad P(T=4) = \dfrac{1}{9}.
\end{align*}

On peut récapituler ces résultats dans un tableau :
         \[
         \begin{array}{|R|*6{c|}}
\hline
K        &       -6     &     -2        &     -1           &
+2        &   +3   &    +4 \\
         \hline
P(T=K)  &  \dfrac{1\strut}{9\strut}  &  \dfrac{2}{9}   &  \dfrac{2}{9}   &
\dfrac{1}{9}   & \dfrac{2}{9}   &   \dfrac{1}{9} \\
         \hline
\end{array}
         \]
On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à 1.
\item $E(T)=-6\times\frac{1}{9}-2\times\frac{2}{9}-1\times\frac{2}{9}+2\times\frac{1}{9}+3\times\frac{2}{9}+4\times\frac{1}{9}=0$.\\
Donc, le jeu est équitable.
\end{questions}

\item Le joueur perd la partie lorsqu'il a un nombre négatif
de points, c'est-à-dire
lorsque $T$ prend les valeurs $-6$ ou $-2$ ou $-1$.
Soit $A$ l'événement \og{} le joueur perd la partie \fg{}.
         \[
         \begin{aligned}
P(A) &= P(T=-6) + P(T=-2) + P(T=-1) \\
P(A) &= \frac{1}{9} + \frac{2}{9} +\frac{2}{9}\\
P(A) &= \frac{5}{9}.
\end{aligned}
         \]
La probabilité que le joueur perde la partie est $\dfrac{5}{9}$.

\begin{Remarque}
cela n'est pas contradictoire avec $E(T)=0$.
\end{Remarque}
\end{questions}
