\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
E(X) & = 0\times0,2 + 1\times0,1 + 2\times0,2 + 3\times0,4+4\times0,1\\
& = 2,1.
\end{aligned}$

Pour calculer la variance, ajoutons une ligne à la loi de probabilité de $X$:
\begin{center}
\begin{tabular}{|L|*5{Zc|}}
\hline
Valeurs de $X$ & 0 &1 &2 & 3& 4\\
\hline
Valeurs de $X^2$ & 0 &1 &4 & 9& 16\\
\hline
$p_i=p(X=x_i)$&        0,2&        0,1&        0,2&        0,4&0,1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par


D'après la formule de König-Huygens, on a:
\begin{align*}
V(X) & = \big( 0\times0,2 + 1\times0,1 + 4\times0,2 + 9\times0,4+16\times0,1 \big) - 2,1^2\\
& = 1,69.
\end{align*}

Ainsi, l'écart-type de $X$ est: $\sigma(X)=\sqrt{1,69}=1,3$.

\item D'après le cours,
\begin{itemize}
\item $E(Y)=E(-2X+3)=-2E(X)+3=-2\times2,1+3=-1,2$.
\item $V(Y)=V(-2X+3)=(-2)^2V(X)=4\times1,69=6,76$.
\item $\sigma(Y)=\sigma(-2X+3)=|-2|\sigma(X)=2\times1,3=2,6$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
V(Z)=0,25 & \iff a^2V(X)=0,25\\
& \iff a^2 = \dfrac{0,25}{1,69}\\
& \iff a=\sqrt{\dfrac{0,25}{1,69}}\text{ car }a>0\\
& \iff a = \dfrac{0,5}{1,3}=\dfrac{5}{13}.
\end{aligned}$

\Par


$\begin{aligned}[t]
E(Z)=1,42 & \iff aE(X)+b=1,42\\
& \iff a\times2,1+b=1,42\\
& \iff b=1,42-2,1a\\
& \iff b =\dfrac{142}{100}-\dfrac{21}{10}\times\dfrac{5}{13} = \dfrac{199}{325}.
\end{aligned}$
\end{questions}
