\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Il y a $6+1=7$ boules dans l'urne.

\item On peut représenter l'expérience par l'arbre suivant :

\begin{center}
\includegraphics{336_8_fig_1}
\end{center}

\item La variable aléatoire $G$ prend la valeur 1 lorsque les deux boules sont noires, la valeur 10 si les deux boules sont blanches et la valeur $-3,5$ si les boules sont de couleurs différentes.\\
Le jeu consiste en la répétition de deux expériences identiques et indépendantes.

\Par

 La probabilité d'une liste de résultats  est donc égale au produit de chaque résultat de la liste. On a alors la loi de probabilité suivante :

\begin{itemize}
\item $P(G=1) =\dfrac{6}{7}\times \dfrac{6}{7}=\dfrac{36}{49}$.

\Par

\item $P(G=10) =\dfrac{1}{7}\times \dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{49}$.

\Par

\item $P(G=-3,5)=\dfrac{6}{7}\times \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}\times \dfrac{6}{7} =\dfrac{12}{49}$.
\end{itemize}

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
E(G)& =1 \times \dfrac{36}{49}+ 10 \times \dfrac{1}{49}-3,5\times \dfrac{12}{49}\\
& =\dfrac{4}{49}.\end{aligned}$

\Par

\item Cela signifie que sur un grand nombre de parties, Pierre peut\linebreak espérer gagner en moyenne $\dfrac{4}{49}$ euros par partie.
\end{questions}

\Par

\item On refait les mêmes raisonnements en remplaçant 6 par $n$.
\begin{questions}
\item Il y a $n+1$ boules dans l'urne.

\Par

\item La probabilité de tirer une boule noire à chaque tirage est donc $\dfrac{n}{n+1}$.

\item L'arbre associé à l'expérience est :

\begin{center}
\includegraphics{337_8_fig_2}
\end{center}

\item
$P(G=1)=\dfrac{n}{n+1}\times \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{n^2}{(n+1)^2}$.\\
$P(G=10)=\dfrac{1}{n+1}\times \dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^2}$.\\
$P(G=-3,5)=\dfrac{n}{n+1}\times \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}\times \dfrac{n}{n+1} =\dfrac{2n}{(n+1)^2}$.\\
\item $\begin{aligned}[t]
E(G) & =1 \times \dfrac{n^2}{(n+1)^2}+ 10 \times \dfrac{1}{(n+1)^2}-3,5\times \dfrac{2n}{(n+1)^2}\\
E(G) & =\dfrac{n^2-7n+10}{(n+1)^2}.
\end{aligned}$

\item Le jeu est équitable lorsque $E(G)=0$, c'est-à-dire lorsque\linebreak$n^2-7n+10=0$.\\
Le discriminant de cette équation du second degré en $n$ vaut 9. Elle a donc deux solutions : 2 et 5.\\
Le jeu est donc équitable lorsqu'il y a 2 ou 5 boules noires et une blanche.
\item Le jeu risque risque de rapporter le plus d'argent à Marie lorsque l'espérance du gain de Pierre est minimale. Il faut donc trouver pour quelle(s) valeur(s) entière(s), l'expression  $\dfrac{n^2-7n+10}{(n+1)^2}$ est minimale.\\
Posons $f(x)=\dfrac{x^2-7x+10}{(x+1)^2}$ et étudions les variations de $f$ sur $[1~;+\infty[$.

$\begin{aligned}[t]
f'(x)& = \dfrac{(2x-7)(x+1)^2-2(x+1)(x^2-7x+10)}{(x+1)^4}\\
& = \dfrac{(2x-7)(x^2+2x+1)-2(x+1)(x^2-7x+10)}{(x+1)^4}\\
& = \dfrac{9(x^2-2x-3)}{(x+1)^4}.
\end{aligned}$.


Le numérateur s'annule pour $x=-1$ et $x=3$.

La fonction $f$ est donc décroissante sur l'intervalle $[1~;3]$ (entre les racines), puis croissante.

Le minimum du gain pour Pierre est donc atteint quand $n=3$.

Le gain pour Marie est alors 0,125 \euro.
\end{questions}
\end{questions}
