\begin{questions}
\item La dérivée de $f$ est :
\[
f'(x)=3x^2+6x-9.
\]
Ainsi,
\[
\forall a\in\R,\ f'(a)=3a^2+6a-9.
\]

\item D'après le cours, l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse $a$ est:
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a).
\]
Pour $a=2$, on obtient:
\begin{align*}
&y=f'(2)(x-2)+f(2)\\
\iff & y=(3\times2^2+6\times2-9)(x-2)+(2^3+3\times2^2-9\times2+6\\
\iff & y= 15(x-2)+8\\
\iff & y=15x-22
\end{align*}
L'équation réduite de $(T)$ est donc $y=15x-22$.

\newpage

\item S'il existe un point d'abscisse $b$ en lequel la tangente à $\cal C$ est parallèle à $(T)$, alors $f'(b)=15$ (les coefficients directeurs des tangentes sont nécessairement égaux).
\begin{align*}
f'(b)=15 & \iff 3b^2+6b-9=15\\
& \iff 3b^2+6b-24=0\\
& \iff b^2+2b-8=0\text{ (en divisant tout par 3)}.
\end{align*}
Le discriminant du trinôme $b^2+2b-8$ est :
\[
\Delta=2^2-4\times1\times(-8)=36.
\]
Il a donc deux racines:
\[
b_1=\dfrac{-2-6}{2}=-4\qquad\text{ et }\qquad b_2=\dfrac{-2+6}{2}=2.
\]
Il y a donc deux points en lesquels le coefficient directeur de la tangente à $\cal C$ est égal à 2 : celui d'abscisse $-4$ et celui d'abscisse 2 (déjà vu précédemment).

\item $\cal C$ admet une ou des tangentes parallèles à l'axe des abscisses s'il existe au moins une valeur de $a$ pour laquelle $f'(a)=0$
\begin{align*}
f'(a)=0 & \iff 3a^2+6a-9=0\\
& \iff a^2+2a-3=0\text{ (en divisant tout par 3)}.
\end{align*}
$a_1$ est une racine évidente de $a^2+2a-3$ donc la seconde racine est $a_2=-3$ (on utilise le résultat $a_1a_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}$).

Il existe donc bien deux points (d'abscisses respectives 1 et $-3$) en\linebreak lesquels la tangente à $\cal C$ est horizontale.
\end{questions}
