Soit $h$ un réel non nul, le taux de variation de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$ est :
\[ t(h) = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}. \]
Comme $f(x) = |x^2-4| - 1$, alors $t(h ) = \dfrac{|(2+h)^2 - 4| - 1+1}{h}$.
\par
Soit après réduction :
\[
t(h) = \frac{ |h^2 + 4h|}{h}.
\]
On écrit $t(h)$ sous la forme $\dfrac{|h|}{h} \times |h+4|$.
\Par
Deux cas doivent alors être distingués :
\begin{itemize}
\item Si $h > 0$, alors $t(h) = h + 4$.
\item
Si $h < 0$, alors $t(h) = -|h + 4|$.
\end{itemize}
Il en résulte que $t(h)$ n'a pas de limite en $0$. En effet, si $h$ tend vers $0$ par valeurs positives, $t(h)$ tend vers $4$ (calcul effectué dans la première expression) et si $h$ tend vers $0$ par valeurs négatives, alors $t(h)$ tend vers $-4$ (calcul effectué dans la seconde expression).
\Par
On en déduit que $f$ n'est pas dérivable en $a = 2$.
