\begin{questions}
\item  $f(x)$ existe si et seulement si $2x^{2}-x-1 \neq 0$.
\par
Étudions le trinôme $2x^{2}-x-1$ :\\
$\Delta=9$ donc ses racines sont :
\[
x_1=\frac{1+3}{4}=1 \qquad \text{et} \qquad x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}.
\]
Finalement :
\[
{\cal D}_f=\R \setminus \left\{ -\frac{1}{2}~; 1 \right\}
\]
La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition.
        \begin{align*}
        f'(x) &= \displaystyle \frac{(6x-4)(2x^{2}-x-1)-(3x^{2}-4x+7)(4x-1)}{(2x^{2}-x-1)^{2}} \\
              &= \displaystyle \frac{12x^{3}-14x^{2}-2x+4-(12x^{3}-16x^{2}+28x-3x^{2}+4x-7)}{(2x^{2}-x-1)^{2}} \\
              &= \displaystyle \frac{5x^{2}-34x+11}{(2x^{2}-x-1)^{2}}.
        \end{align*}
        \item  $f(x)$ existe si et seulement si $4x-7 \not= 0$,
        d'où :
        \[\mathcal{D}_{f} = \R \setminus \left\{\frac{7}{4}\right\}\]
        La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition et :
        \[
        f'(x) = -5-\frac{4}{(4x-7)^{2}}.
        \]

        \item $f(x)$ existe si et seulement si $(-x^2+2)(x+3)\not=0$,
        soit si et seulement si $-x^2+2\not=0$ et $x+3\not=0$,
        d'où :
        \[\mathcal{D}_f=\R\setminus\left\{ -3\,;-\sqrt{2}\,;\sqrt{2} \right\}\]

        La fonction $f$ est une fonction rationnelle, dérivable sur son ensemble de définition avec, pour tout  $x\in\mathcal{D}_f$, $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$,
        où :
        \[u(x)=2x+3\quad \text{et}\quad v(x)=(-x^2+2)(x+3)\,.\]

        On a $u'(x)=2$ et, en utilisant la formule de dérivation d'un
        produit,
        $v'(x)=(-2x)(x+3)+(-x^2+2)(1)=-3x^2-6x+2$.

        On a donc :
        \[\begin{aligned}
        f'(x)&=\frac{2(-x^2+2)(x+3)-(2x+3)(-3x^2-6x+2)}{(-x^2+2)^2(x+3)^2}\\
        &=\frac{4x^3+15x^2+18x+6}{(-x^2+2)^2(x+3)^2}.
        \end{aligned}
        \]
\end{questions}
