\begin{questions}
\item $f$ est définie sur $\R_+$ et dérivable sur $\R^*_+$.\vspace*{-1em}

\enlargethispage*{5em}
\begin{align*}
f'(x) & = 2\sqrt{x}+(2x-3)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = \frac{2\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+2x-3}{2\sqrt{x}}\\
& = \frac{6x-3}{2\sqrt{x}}.
\end{align*}

\Par
\begin{methode}
Il est intéressant d'aller jusqu'à la dernière écriture, car elle nous permettra d'étudier le signe de $f'(x)$.
\end{methode}

\Par

$f$ n'est pas dérivable en 0 : en effet, en revenant à la définition :
\[ \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(2h-3)\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to 0}\left(2\sqrt{h}-\frac{3}{\sqrt{h}}\right).\]
Or, lorsque $h$ se rapproche de 0, $\frac{3}{\sqrt{h}}$ devient de plus en plus grand ; on dit que cette quantité tend vers l'infini. La limite du taux de variation n'est donc pas un réel, et donc $f$ n'est pas dérivable en 0.

\item $g$ est définie et dérivable comme quotient de deux fonctions polynômes, lorsque le dénominateur est non nul.\\
$\Delta= 9$, le trinôme a donc deux racines, 1 et 4.\\
La fonction $f$ est donc définie et dérivable sur $\R\setminus\{1~;4\}$.
\begin{align*}
g'(x) & = \frac{-3(x^2-5x+4)-(2-3x)(2x-5)}{(x^2-5x+4)^2}\\
& = \frac{-3x^2+15x-12-4x+10+6x^2-15x}{(x^2-5x+4)^2}\\
& = \frac{3x^2-4x-2}{(x^2-5x+4)^2}.
\end{align*}

Là encore, $g'(x)$ est sous une forme où l'étude de son signe sera facile.

\item Le dénominateur de $k(x)$ ne s'annule jamais. Par contre il y a une racine carrée.\\
Donc $k$ est définie sur $\R_+$ et dérivable sur $\R_+^*$.
\begin{align*}
k'(x) & = \frac{\left(\sqrt{x}+x\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x^2+3)-x\sqrt{x}\times 2x}{(x^2+3)^2}\\
& = \frac{\left(\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}\right)(x^2+3)-2x^2\sqrt{x}}{(x^2+3)^2}\\
& = \dfrac{ \frac{3\sqrt{x}}{2}x^2 + \frac{3}{2}\sqrt{x}\times 3-2x^2\sqrt{x} }{(x^2+3)^2}\\
& = \frac{\sqrt{x}\left(\frac{9-x^2}{2}\right)}{(x^2+3)^2}.
\end{align*}

La forme obtenue à la fin peut laisser penser que $k$ est dérivable en 0, puisque rien ne s'opposerait à remplacer $x$ par 0 dans cette formule.

Il nous faut revenir à la définition :

\[ \lim_{h\to 0}\frac{k(0+h)-k(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{h\sqrt{h}}{h^2+3}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h}}{h^2+3}=0.\]

\Par

Donc la fonction $k$ est bien dérivable en 0, et son ensemble de dérivabilité est finalement $\R_+$.
\end{questions}
