\begin{questions}
\item $f(x) = \frac{2x+1}{x^{2}-x+1}$.\\
La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est dérivable sur son ensemble de définition. Or, le discriminant du trinôme $x^{2}-x+1$ est~$-3$.

Donc l'équation $x^{2}-x+1=0$ n'admet pas de solution réelle.\\
On en déduit que $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{2(x^{2}-x+1)-(2x+1)(2x-1)}{(x^{2}-x+1)^{2}} \\
              &= \frac{2x^{2}-2x+2-4x^{2}+1}{(x^{2}-x+1)^{2}} \\
              &= \frac{-2x^{2}-2x+3}{(x^{2}-x+1)^{2}}.
\end{align*}

\item On doit chercher si le dénominateur s'annule pour certaines valeurs de~$x$.

$x^4-x^2 +1 = 0$ est une équation dite \textit{bicarrée} : pour la résoudre, on pose $X = x^2$, et l'équation devient alors:
\[
X^2 - X + 1 = 0.
\]
Cette équation est celle de la question 1., et nous avons montré qu'elle n'avait pas de solution réelle (discriminant négatif).\\
Donc l'équation $x^4-x^2 +1 = 0$ n'a pas de solution non plus, et $g$ est définie et dérivable sur $\R$.
\[g'(x) = -\dfrac{4x^{3}-2x}{(x^{4}-x^{2}+1)^{2}}.\]

\item  $h(x)= \frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{x}}$. La fonction $h$ est définie et dérivable sur $\left]0~;+\infty \right[$.
\[ h'(x) = \frac{1}{2} \left( - \frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} \right) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}.\]
\end{questions}
