\begin{questions}
\item $f(x)=-\dfrac{x^5}{5}+4x^3+\frac{2}{5}x+2\pi$.

$f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\R$. On dérive terme à terme pour obtenir:
\[
f'(x)=-\frac{5x^4}{5}  + 4\times 3x^2 + \frac{2}{5}\times1 + 0 = -x^4 + 12x^2 + \frac{2}{5}.
\]
\item $f(x)=-\dfrac{5}{x}+2\sqrt{x}$.

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ car il y a la fonction racine carrée dans son expression. En dérivant terme à terme, on obtient:
\[
f'(x)=-\left(-\frac{5}{x^2}\right) + 2\times\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}.
\]

\item $f(x)=\frac{1}{-x+4}$.

$f$ est dérivable sur $]-\infty;4[$ et sur $]4;+\infty[$, et on remarque que :
\[
f(x)= g(-x+4)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=\frac{1}{x}\text{ et } g'(x)=-\frac{1}{x^2}.
\]
Ainsi, on utilise la formule du cours: $\big(g(ax+b)\big)' = a \times g'(ax+b)$.
\[
f'(x)  = -1 \times \left( - \frac{1}{(-x+4)^2} \right) = \frac{1}{(-x+4)^2}.
\]


\item $f(x)=(4-3x)^4$.

$f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\R$. De plus,
\[
f(x)=g(4-3x)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=x^4\text{ et }g'(x)=4x^3.
\]
D'où:
\[
f'(x)=-3\times 4 (4-3x)^3 = -12(4-3x)^3.
\]

\item $f(x)=\sqrt{-2x+4}$.

$f$ est dérivable sur $]-\infty;2[$ car $-2x+4>0 \iff x < 2$. De plus,
\[
f(x)=g(-2x+4)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=\sqrt{x}\text{ et }g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
\]
D'où:
\[
f'(x)=-2\times\frac{1}{2\sqrt{-2x+4}}=-\frac{1}{\sqrt{-2x+4}}.
\]

\item $f(x)=\frac{1}{(5x+3)^3}$.

$f$ est dérivable sur $\left]-\infty;-\frac{3}{5}\right[$ et sur $\left]-\frac{3}{5};+\infty\right[$. De plus,
\[
f(x)=g(5x+3)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=\frac{1}{x^3}\text{ et }g'(x)=-\frac{3}{x^4}.
\]
D'où:
\[
f'(x)=5\times\left(-\frac{3}{(5x+3)^4}\right) = -\frac{15}{(5x+3)^4}.
\]

\item $f(x)=|5-7x|$. $f$ est dérivable sur $\left]-\infty;-\frac{5}{7}\right[$ et sur $\left]-\frac{5}{7};+\infty\right[$ car $5-7x=0 \iff x = \frac{5}{7}$. De plus,
\[
f(x)=g(5-7x)\qquad\text{avec}\qquad g(x)=|x|\text{ et }g'(x)=\frac{|x|}{x}.
\]
D'où:
\[
f'(x)=-7 \times \frac{|5-7x|}{5-7x} = -\frac{7|5-7x|}{5-7x}.
\]
\end{questions}
