\begin{questions}
\item Avec la définition de $f$, on peut calculer sa dérivée :
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}. \]
On sait que $f'(a) = 0$, donc on a $u'(a)v(a)-u(a)v'(a) = 0$ (un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul, ce qui est le cas d'après les hypothèses).\\
On a donc $u'(a)v(a)=u(a)v'(a)$, et en divisant successivement par $v'(a)$ et $v(a)$ (on peut le faire puisque $u$ et $v$ ne s'annulent pas sur $I$), on obtient : $\frac{u'(a)}{v'(a)}=\frac{u(a)}{v(a)}=f(a)$ par définition.

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \frac{(2x+3)(x^2+1)-(x^2+3x-4)(2x)}{(x^2+1)^2}\\
& = \frac{2x^3+3x^2+2x+3-2x^3-6x^2+8x}{(x^2+1)^2}\\
& = \frac{-3x^2+10x+3}{(x^2+1)^2}.
\end{aligned}$

Cette dérivée s'annule si et seulement si $-3x^2 + 10x + 3 = 0$.\\
$\Delta = 100 + 36 = 136 = 4 \times  34$.\\
Les racines sont donc $x' = \frac{-10-2\sqrt{34}}{-6}$ et $x'' = \frac{-10+2\sqrt{34}}{-6}$. Seule $x'$ est positive, donc c'est elle qui est notée $a$. $a = \frac{5+\sqrt{34}}{3}$.

\item D'après la question 1, $f(a) = \frac{u'(a)}{v'(a)}$ avec $u(x) = x^2 + 3x -4$ et $v(x) = x^2 + 1$.

\begin{align*}
f(a) & =\frac{2a+3}{2a}\\
& = \frac{2\times\frac{5+\sqrt{34}}{3}+3}{2\times\frac{5+\sqrt{34}}{3}}\\
& = \frac{19+2\sqrt{34}}{10+2\sqrt{34}}\\
& = \frac{(19+2\sqrt{34})(10-2\sqrt{34})}{(10+2\sqrt{34})(10-2\sqrt{34})}\\
 & = \frac{190-4\times 34+20\sqrt{34}-38\sqrt{34}}{100-4\times 34}\\
& = \frac{54-18\sqrt{34}}{-36}\\
& = \frac{18\sqrt{34}-54}{36}\\
& = \frac{\sqrt{34}-3}{2}.
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}
