\begin{questions}
\item La fonction $f$ est définie pour tous réels $x$ tels que $2x+1\neq0$, soit pour $x \neq -\frac{1}{2}$.

Le domaine de définition de $f$ est donc:
\[
\mathcal{D} = \R\setminus\left\{-\frac{1}{2}\right\}.
\]

\item $f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(x)=6x+4 & \qquad & v(x)=2x+1\\
u'(x)=6 & \qquad & v'(x)=2
\end{array}
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = \left(\frac{u'v-v'u}{v^2}\right)(x)\\
& = \frac{6(2x+1)-2(6x+4)}{(2x+1)^2}\\
& = \frac{12x+6-12x-8}{(2x+1)^2}\\
& = \frac{-2}{(2x+1)^2}.
\end{align*}

\item On a:
\begin{itemize}
\item $f(0) = \frac{6\times0+4}{2\times0+1}=4$;
\item $f'(0)=\frac{-2}{(2\times0+1)^2}=-2$.
\end{itemize}
Ainsi, une équation de $\mathcal{T}$ est:
\begin{align*}
 & y = f'(0)(x-0)+f(0)\\
\iff & y = -2x+4.
\end{align*}

\item La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-1$ a pour coefficient directeur:
\[
f'(-1) = \frac{-2}{(2\times(-1)+1)^2} = -2.
\]
Ainsi, cette tangente a le même coefficient directeur que $\mathcal{T}$; elle sont donc parallèles.

\item
\begin{methode}
Pour trouver la position relative des courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$, on étudie le signe de $f(x)-g(x)$:
\begin{itemize}
\item Si $f(x)-g(x) > 0$ pour $x\in I$ alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$;
\item Si $f(x)-g(x) < 0$ pour $x\in I$ alors $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $I$;
\item Si $f(x)-g(x) = 0$ pour $x=a$ alors $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse $a$.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{align*}
f(x)-(-2x+4) & = \frac{6x+4}{2x+1} + 2x-4\\
& = \frac{6x+4}{2x+1} + \frac{(2x-4)(2x+1)}{2x+1}\\
& = \frac{6x+4+4x^2+2x-8x-4}{2x+1}\\
& = \frac{4x^2}{2x+1}.
\end{align*}
Or, $4x^2>0$ pour tout réel $x$. Ainsi,
\[
f(x)-(-2x+4) > 0 \iff 2x+1 > 0 \iff x > -\frac{1}{2}.
\]
De plus,
\[
f(x)-(-2x+4) = 0 \iff 4x^2=0 \iff x=0.
\]
On en conclut alors que:
\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}$ est au-dessus de $\mathcal{T}$ sur $\left]-\frac{1}{2};+\infty\right[$;
\item $\mathcal{C}$ est en-dessous de $\mathcal{T}$ sur $\left]-\infty;-\frac{1}{2}\right[$;
\item $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ se coupent au point d'abscisse 0.
\end{itemize}

\item Calculons pour $a \neq 0$:
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f'\left(-\frac{1}{2}+a\right) & = \frac{-2}{\left[ 2\left(-\frac{1}{2}+a\right) + 1\right]^2}\\
& = \frac{-2}{(-1+2a+1)^2}  = \frac{-2}{4a^2}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
f'\left(-\frac{1}{2}-a\right) & = \frac{-2}{\left[ 2\left(-\frac{1}{2}-a\right) + 1\right]^2}\\
& = \frac{-2}{(-1-2a+1)^2}  = \frac{-2}{4a^2}
\end{aligned}$
\end{itemize}
On a alors:
\[
f'\left(-\frac{1}{2}+a\right) = f'\left(-\frac{1}{2}-a\right).
\]
Cela signifie donc que les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $-\frac{1}{2}+a$ et $-\frac{1}{2}-a$ ont le même coefficient directeur, et sont alors parallèles.
\end{questions}
