\begin{questions}
\item Réponse \choix[b]. On a :
\begin{align*}
2- \dfrac{\nep^{-x}-2}{\nep^{-x}-1}& = \dfrac{2\nep^{-x}-2-\nep^{-x}+2}{\nep^{-x}-1}\\
& = \dfrac{\nep^{-x}}{\nep^{-x}-1}\\
& = \dfrac{1}{1-\nep^x}\qquad\text{en multipliant haut et bas par }\nep^x.
\end{align*}

\item Réponse \choix[b]. On pose $\nep^x = X$.

L'équation devient alors $X^2-\left(\nep + \dfrac{1}{\nep} \right)X+1=0$. On calcule :

\[ \Delta = \left( \nep + \dfrac{1}{\nep} \right)^2-4 = \nep^2+2+\dfrac{1}{\nep^2}-4 = \nep^2-2+\dfrac{1}{\nep^2} = \left( \nep-\dfrac{1}{\nep} \right)^2. \]
Le discriminant est strictement positif et les deux solutions sont :
\[ X_1 = \dfrac{\nep+\dfrac{1}{\nep} -\nep+\dfrac{1}{\nep}}{2} = \dfrac{1}{\nep}  \quad \text{et} \quad X_2 = \dfrac{\nep + \dfrac{1}{\nep} + \nep - \dfrac{1}{\nep}}{2} = \nep. \]

On a donc soit $\nep^x = \nep^{-1} \Leftrightarrow x=-1$, soit $\nep^x=\nep\Leftrightarrow x=1$.

L'équation admet donc deux solutions, 1 et $-1$.

\item Réponse \choix[b]. Ici aussi, on pose $X=\nep^x$.

On obtient alors l'expression $X^2-(\nep+1)X+\nep$.
\[\Delta = (\nep +1)^2 - 4\nep = \nep^2+2\nep+1-4\nep = \nep^2-2\nep +1 = (\nep-1)^2. \]
Le trinôme en X a deux racines, $\nep$ et $1$.

On peut donc factoriser l'expression de départ :
\[
\nep^{2x} -(\nep+1) \nep^x+\nep   = (\nep^x-1)(\nep^x-\nep). \]
On a donc :
\begin{align*}
\nep ^x-1>0 & \iff \nep^x>1\\
& \iff x > 0
\end{align*}
et
\begin{align*}
\nep^x-\nep>0\\
& \iff \nep^x>\nep\\
& \iff x>1 .
\end{align*}

On obtient donc le tableau de signes suivant :
\[
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x& -\infty & &0  & & 1 & & +\infty \\\hline
\nep^x-1 & &-&0&+& & + & \\\hline
\nep^x-\nep & &-& &-&0 & + & \\\hline
(\nep^x-1)(\nep^x-\nep) & &+&0 &-&0 & + & \\\hline
\end{array}
\]

\item Réponse \choix[b]. En multipliant par $\nep^x$ le numérateur et le dénominateur, et en simplifiant, on a :
\[
\dfrac{\nep^x -\nep^{-x}}{\nep^x+\nep^{-x}} = \dfrac{\nep^x(\nep^x-\nep^{-x})}{\nep^x(\nep^x+\nep^{-x})} = \dfrac{\nep^{2x}-1}{\nep^{2x}+1}.\]
\Par
Ces deux nombres sont donc inverses.
\end{questions}
