\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\nep^{3x-5} \leqslant \nep^{-x^2+7} & \iff 3x-5 \leqslant -x^2+7  \text{ (par propriété du cours)}\\
& \iff x^2+3x-12 \leqslant0.
\end{aligned}$

Le discriminant du polynôme $x^2+3x-12$ est $\Delta=9+48=57$ donc ce dernier a deux racines :
\[
x_1=\dfrac{-3-\sqrt{57}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{57}}{2}.
\]
Il est du signe de $-a$ (donc négatif ici) entre les racines donc l'ensemble solution de l'inéquation est :
\[
S = \left[ \dfrac{-3-\sqrt{57}}{2} ~;~ \dfrac{-3+\sqrt{57}}{2} \right].
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\nep^{3x-1} > \nep^{5x-4} & \iff \dfrac{\nep^{3x-1}}{\nep^{5x-4}}>1\\
& \iff \nep^{3x-1-(5x-4)} > \nep^0\\
& \iff \nep^{-2x+3} > \nep^0\\
& \iff -2x+3 > 0\\
& \iff -2x > -3\\
& \iff x < \dfrac{3}{2}.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'inéquation est donc :
\[
 S = \left]-\infty ~;~\dfrac{3}{2}\right[.
 \]

\item $\nep^{2x}+\nep^{x}-2 < 0 \iff \big(\nep^x\big)^2 + \nep^x-2<0$.

Pour résoudre cette inéquation, on pose $X = \nep^x$. Ainsi,
\[
\nep^{2x}+\nep^{x}-2 < 0 \iff X^2+X-2<0.
\]
Le polynôme $X^2+X-2$ admet $X_1=1$ comme racine évidente donc la seconde racine $X_2$ est telle que $X_1X_2=\dfrac{c}{a}$, soit $X_2=-2$. Ainsi,
\[
X^2+X-2=(X-1)(X+2)\quad\text{donc}\quad \nep^{2x}+\nep^x-2=\big(\nep^x-1\big)\big(\nep^x+2\big).
\]
De plus, pour tout réel $x$,
\[
\nep^x>0\text{ donc } \nep^{x}+2>0.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\nep^{2x}+\nep^x-2 < 0 & \iff \big(\nep^x-1\big)\big(\nep^x+2\big)<0\\
& \iff \nep^x-1<0\\
& \iff \nep^x < 1\\
& \iff \nep^x < \nep^0\\
& \iff x < 0.
\end{align*}

L'ensemble solution de l'inéquation est donc:
\[
S = ]-\infty~;~0[.
\]
\end{questions}
