\begin{questions}
\item \emph{Faux}. Pour tout $n \geq 1$, on pose $u_n = n^2 - 3n$.

  On a :
  \[
  \begin{aligned}
    u_{n + 1} - u_n & = (n + 1)^2 - 3(n + 1) - n^2 + 3n\\
    u_{n + 1} - u_n & = 2n - 2
  \end{aligned}
  \]

  Si $n\geq 1$, $2n - 2 \geq 0$. Donc la suite $(u_n)$ est
  croissante. Or la fonction $f$ définie sur $[1~; +\infty[$ par $f(x)
  = x^2 - 3x$ est décroissante sur $\left[1~; \frac{3}{2}\right]$.

\newpage

\item \emph{Faux}. Soit $u_n = -2^n$.

  On a :
  \[
  \frac{u_{n + 1}}{u_n} = \frac{-2^{n + 1}}{-2^n} = 2\quad
  \text{donc}\quad \frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1.
  \]

  Cependant, la suite $(u_n)$ est décroissante : pour tout $n\in
  \mathbb{N}$, \[ u_{n + 1} - u_n = -2^{n + 1} + 2^{n} = -2^n\] donc
  $u_{n + 1} - u_n < 0$.

  Il manquait la condition : $u_n > 0$.

  \item \emph{Vrai}. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites croissantes. On pose  $w_n = u_n + v_n$. Pour tout entier naturel $n$,
    \[
    \begin{aligned}
     & u_n < u_{n + 1} \quad \text{et} \quad v_n < v_{n + 1}\\
      \text{donc} & \quad u_n + v_n < u_{n + 1} + v_{n + 1}\\
      \text{soit} & \quad w_n < w_{n + 1}
    \end{aligned}
    \]
    La suite $(w_n)$ est donc croissante.
\end{questions}
