\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier $n\geqslant1$,
      $n^2\geqslant n^2-1\geqslant0$,
      et on déduit donc que :
      \[
      n\geqslant \sqrt{n^2-1}\quad\text{car la fonction racine carrée est croissante sur }\R_+.
      \]

\item Pour $n\geqslant1$,
\begin{align*}
\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^2 & = n+1+2\sqrt{(n+1)}\sqrt{(n-1)}+n-1\\
                                     & = 2n+2\sqrt{n^2-1}.
      \end{align*}
Or, d'après la question précédente,
\begin{align*}
\sqrt{n^2-1}\leq n & \iff 2\sqrt{n^2-1}\leq 2n\\
                   & \iff 2n+2\sqrt{n^2-1}\leq 4n\\
                   & \iff \left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\right)^2 \leq 4n\\
                   & \iff \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\leqslant \sqrt{4n}
                   \intertext{(car $\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1} > 0$ pour $n\geqslant1$)}
                   & \iff \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}\leqslant 2\sqrt{n}.
\end{align*}

\item Pour tout entier $n\geqslant1$,
\begin{align*}
u_n-u_{n-1} & = \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)-\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\\
            & = \sqrt{n+1}-2\sqrt{n}+\sqrt{n-1}.
\end{align*}
D'après la question précédente, on sait que :
\[
\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}-2\sqrt{n}\leqslant 0,
\]
c'est-à-dire que $u_n-u_{n-1}\leqslant0$, et donc que la suite $(u_n)$ est décroissante.
\end{questions}

\item
  \begin{questions}
  \item Pour tout $n \in \N$, en multipliant en haut et en bas par la quantité
  conjuguée, on a :
    \[
    \begin{aligned}
    u_n&=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\
    &=
    \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\
    &=
    \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\
    &=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\,.
    \end{aligned}
    \]

  Comme pour tout entier $n$,
  $\sqrt{n+1}>0$ et $\sqrt{n}\geqslant0$,
  on a donc, \mbox{$u_n>0$}.

  De plus, pour tout entier $n$, $n+1>n$, et donc,
  $\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$, car la fonction racine carrée est
  croissante.

  On en déduit que $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}$, et donc que :
  \[
  0<u_n<\frac{1}{2\sqrt{n}}\quad\text{car la fonction inverse est décroissante.}
  \]

   \item Soit $M>0$, d'après l'encadrement précédent, il suffit de
   choisir $n_0$ tel que :
   \[
   \frac{1}{2\sqrt{n_0}}\leqslant M
   \iff
   n_0\geqslant \frac{1}{4M^2} \quad\text{pour que }0<u_{n_0}\leqslant M.
   \]
   \end{questions}
\end{questions}
