\[
3 \sin x+4 \cos x=5 \iff \sin x=\frac{5-4 \cos x}{3}.
\]
Utilisons ce résultat dans l'expression $\cos^2 x +\sin^2 x=1$.

Comme $\cos^2 x +\sin^2 x=1$, alors :
\begin{align*}
& \quad \cos^2 x +\frac{(5-4 \cos x)^2}{9}=1 \\
\text{soit} & \quad 9 \cos^2 x+25-40 \cos x+16 \cos^2 x=9 \\
\text{soit}& \quad 25 \cos^2 x-40 \cos x +16=0 \\
\text{soit}& \quad (5 \cos x-4)^2 =0 \\
\text{d'où :} & \quad \cos x=\frac{4}{5}.
\end{align*}

Par suite :
\[
\sin x=\frac{5-4 \times
\frac{4}{5}}{3}=\frac{5-\frac{16}{5}}{3}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.
\]
