\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{AD}\cdot\gvec{AI} & = \gvec{AD}\cdot\big(\gvec{AD}+\gvec{DI}\big)\\
& = \gvec{AD}\cdot\gvec{AD} + \gvec{AD}\cdot\gvec{DI}\\
& = AD^2 + 0\text{ car  }\gvec{AD}\perp\gvec{DI}\\
& = 1.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{BA}\cdot\gvec{AI} & = \gvec{BA}\cdot\big(\gvec{AD}+\gvec{DI}\big)\\
& = \gvec{BA}\cdot\gvec{AD} + \gvec{BA}\cdot\gvec{DI}\\
& = 0 + BA\times DI \times \cos\big(\gvec{BA}~;~\gvec{DI}\big)\\
& = BA \times DI \times (-1) = \sqrt2\times\frac{\sqrt2}{2}\times(-1)\\
& = -1.
\end{aligned}$

\item Pour démontrer que $(BD)$ et $(AI)$ sont perpendiculaires, on peut démontrer que $\gvec{BD}\cdot\gvec{AI}=0$.
\begin{align*}
\gvec{BD}\cdot\gvec{AI} & = \big(\gvec{BA}+\gvec{AD}\big)\cdot\gvec{AI}\\
& = \gvec{BA}\cdot\gvec{AI} + \gvec{AD}\cdot\gvec{AI}\\
& = -1 + 1\text{ (d'après les questions précédentes)}\\
& = 0.
\end{align*}
Ainsi, $(BD)$ et $(AI)$ sont perpendiculaires.
\end{questions}
