\begin{questions}
\item Le théorème de la médiane appliqué dans le triangle $SA_0A_2$ donne :
\[
SA_0^2+SA_2^2=2SA_1^2+\dfrac{A_0A_2^2}{2}
\]
ce qui donne :
\[
49+SA_2^2=2SA_1^2+18 \iff SA_2^2=2SA_1^2-31.
\]

\item Le théorème d'Al-Kashi appliqué au triangle $SA_0A_1$ donne :
\begin{align*}
SA_1^2 & = SA_0^2+A_1A_0^2-2\times SA_0 \times A_0A_1 \times \cos\alpha\\
SA_1^2 & = 49+9-42\cos\alpha\\
% ERREUR % SA_1^2 & = 85-42\cos\alpha.
SA_1^2 & = 58-42\cos\alpha.
\end{align*}

On en déduit alors que:
\[
SA_1 = \sqrt{58-42\cos\alpha}.
\]
De la question précédente, on peut alors déduire:
\begin{align*}
SA_2^2 & = 2(58-42\cos\alpha)-31\\
SA_2 = \sqrt{85-84\cos\alpha}.
\end{align*}

\item Par construction, dans le triangle $SA_nA_{n+2}$, le théorème de la médiane donne :
\[
SA_n^2 + SA_{n+2}^2 = 2SA_{n+1}^2+\dfrac{A_nA_{n+2}^2}{2}.
\]
Donc:
\[
 SA_{n+2}^2 = 2SA_{n+1}^2-SA_n^2 +18.
\]
Autrement dit,
\[
u_{n+2}=\sqrt{2u_{n+1}^2-u_n^2+18}.
\]

\item \begin{algorithme}{Algorithme}
a $\leftarrow$ angle
u $\leftarrow$ 7
v $\leftarrow$ $\sqrt{}$(58-42cos(a))
Pour n allant de 0 à 48:
\quad w $\leftarrow$ $\sqrt{\text{2*v*v-u*u+18}}$
\quad u $\leftarrow$ v
\quad v $\leftarrow$ w
Fin du Pour
Afficher w
\end{algorithme}

\NathanLiveProg[]{}{}\vspace*{-2em}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.8){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/IL1M/08-Relations-metriques.py}}}
\vspace*{-5pt}

\begin{listing}{En Python}{08-Relations-metriques.py}\end{listing}

\Par


Ce programme affiche : 146.62537297480264.
\end{questions}
\newpage
