\begin{questions}
\item $K$ est le milieu de $[AC]$ donc:
\[
x_K = \frac{x_A+x_C}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2} \qquad\text{et}\qquad y_K=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}.
\]
Ainsi, $K\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$.

$L$ est le milieu de $[BC]$ donc:
\[
x_L = \frac{x_B+x_C}{2}=\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2} \quad\text{et}\quad y_L=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}.
\]
Ainsi, $L\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

\item
\begin{itemize}
\item Soit $M(x;y)$ un point de $(d_1)$, médiatrice de $[AC]$. Alors,
\begin{align*}
\gvec{KM}\cdot\gvec{AC}=0 & \iff \dbinom{x-\tfrac{1}{2}}{y-\tfrac{5}{2}}\cdot\dbinom{-1}{1}=0\\
& \iff -\left(x-\frac{1}{2}\right) + 1\left(y-\frac{5}{2}\right) = 0\\
& \iff -x+\frac{1}{2}+y-\frac{5}{2}=0\\
& \iff -x+y-2=0.
\end{align*}
Une équation cartésienne de $(d_1)$ est donc: $-x+y-2=0$.

\item Soit $M(x;y)$ un point de $(d_2)$, médiatrice de $[BC]$. Alors,
\begin{align*}
\gvec{LM}\cdot\gvec{BC}=0 & \iff \dbinom{x+\tfrac{1}{2}}{y-\tfrac{1}{2}}\cdot\dbinom{1}{5}=0\\
& \iff \left(x+\frac{1}{2}\right) + 5\left(y-\frac{1}{2}\right) = 0\\
& \iff x+\frac{1}{2}+5y-\frac{5}{2}=0\\
& \iff x+5y-2=0.
\end{align*}
Une équation cartésienne de $(d_2)$ est donc: $x+5y-2=0$.
\end{itemize}

\item Le cercle circonscrit au triangle $ABC$ a pour centre $\Omega$, le point d'intersection des médiatrices, dont les coordonnées sont les solutions du système:
\[
\begin{cases}
-x+y-2=0\\
x+5y-2=0
\end{cases}.
\]
On résout ce système en ajoutant les deux équations:
\[
(-x+y-2) + (x+5y-2)=0 \iff 6y - 4 = 0 \iff y=\frac{2}{3}
\]
et en remplaçant $y$ par $\frac{2}{3}$ dans la première équation (par exemple):
\[
-x+\frac{2}{3}-2=0 \iff x = -\frac{4}{3}.
\]
D'où $\Omega\left(-\frac{4}{3};\frac{2}{3}\right)$.

Le rayon du cercle est $\Omega C$ (par exemple).
\[
\gvec{\Omega C}\dbinom{0+\tfrac{4}{3}}{3-\tfrac{2}{3}}\iff \gvec{\Omega C}\dbinom{\tfrac{4}{3}}{\tfrac{7}{3}}.
\]
Ainsi,
\[
\Omega C^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{16+49}{9}=\frac{65}{9}.
\]
L'équation cartésienne canonique du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est alors:
\[
\left( x + \frac{4}{3} \right)^2 + \left( y - \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{65}{9}.
\]
\end{questions}
