\begin{questions}
\item
Faux. La pièce étant parfaitement équilibrée, la probabilité d'avoir face à un lancer quelconque est de $\dfrac{1}{2}$. Les lancers successifs étant indépendants, le fait d'avoir obtenu neuf fois de suite pile lors des lancers antérieurs n'a aucune influence sur le dixième lancer ... même si l'intuition nous incite à penser qu'on devrait voir apparaître \og face \fg{} !

\item
Vrai. On commence par calculer $P(A \cap B)$ : \\
\[ P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \overline{B})= \frac{6}{15}.\]
On compare ensuite avec le produit $P(A)P(B)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{5}$.

\Par

On a bien $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ ce qui prouve l'indépendance des événements $A$ et $B$.


\item
\begin{questions}
\item
Vrai. On définit les événements :

\begin{itemize}
\item S : \og L'élève a réussi le permis de conduire \fg.
\item F: \og L'élève interrogé est une fille \fg.
\item G : \og L'élève interrogé est une garçon\fg.
\end{itemize}

On applique la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements $(F,G)$:
\[
P(S)=P_F(S)P(F)+P_G(S)P(G).
\]
On obtient alors :
\[
P(S)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{4}=0,275.\]

\item
Faux. On cherche à calculer $P_S(G)$. D'après la formule des probabilités conditionnelles, puisque $P(S)$ est non nul, on a :
\[ P_S(G)=\frac{P(S \cap G)}{P(S)}=\frac{0,1 \times 0,25}{0,275}=\dfrac{1}{11}. \]
Une valeur approchée de $P_S(G)$ à $0,001$ près est $0,091$.
\end{questions}
\end{questions}
