\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

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\lhead{\small Baccalauréat Première série générale}
\rhead{\textbf{Prépamath}}
\lfoot{\small{Spécialité mathématiques}}
\rfoot{\small{2026}}
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\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textbf{Spécialité mathématiques \\[6pt] Évaluation en fin de première}}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\centering Durée: 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé. \tabularnewline \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\section*{PREMIÈRE PARTIE: AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textit{Pour chaque question, une seule réponse est exacte.}

\medskip

\begin{enumerate}[label=\textbf{(\arabic*)}, leftmargin=*]
    \item L'expression $\frac{2}{3} - \frac{5}{3} \times \frac{1}{4}$ est égale à : \\
    \textbf{a.} $-\frac{3}{12}$ \hfill \textbf{b.} $\frac{3}{7}$ \hfill \textbf{c.} $\frac{1}{4}$ \hfill \textbf{d.} $\frac{1}{2}$

    \item Un prix augmente de 25\,\%, puis baisse de 20\,\%. Globalement, le prix a : \\
    \textbf{a.} augmenté de 5\,\% \hfill \textbf{b.} stagné \hfill \textbf{c.} baissé de 5\,\% \hfill \textbf{d.} augmenté de 45\,\%

    \item Pour $a \neq 0$, l'expression $\frac{(a^3)^2}{a^{-4}}$ se simplifie en : \\
    \textbf{a.} $a^2$ \hfill \textbf{b.} $a^{10}$ \hfill \textbf{c.} $a^{-2}$ \hfill \textbf{d.} $a^{24}$

    \item La forme développée de $(3x - 2)^2$ est : \\
    \textbf{a.} $3x^2 - 12x + 4$ \hfill \textbf{b.} $9x^2 - 4$ \hfill \textbf{c.} $3x^2 - 4$ \hfill \textbf{d.} $9x^2 - 12x + 4$

    \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $3x - 1 > 5x + 3$ est : \\
    \textbf{a.} $]-\infty~;~-2[$ \hfill \textbf{b.} $]-2~;~+\infty[$ \hfill \textbf{c.} $]-\infty~;~2[$ \hfill \textbf{d.} $]2~;~+\infty[$

    \item La solution de l'équation $2x - 5 = 7x + 10$ est : \\
    \textbf{a.} $x = 3$ \hfill \textbf{b.} $x = -3$ \hfill \textbf{c.} $x = 1$ \hfill \textbf{d.} $x = -1$

    \item La droite passant par $A(0~;~3)$ et $B(2~;~7)$ a pour coefficient directeur : \\
    \textbf{a.} $2$ \hfill \textbf{b.} $-2$ \hfill \textbf{c.} $0,5$ \hfill \textbf{d.} $4$

    \item $15\,\%$ de $60$ est égal à : \\
    \textbf{a.} $4$ \hfill \textbf{b.} $12$ \hfill \textbf{c.} $9$ \hfill \textbf{d.} $45$

    \item Si $f(x) = x^2 - 3x + 2$, alors l'image de $-2$ est : \\
    \textbf{a.} $0$ \hfill \textbf{b.} $12$ \hfill \textbf{c.} $4$ \hfill \textbf{d.} $-8$

    \item Une vitesse de 72 km/h est égale à : \\
    \textbf{a.} 20 m/s \hfill \textbf{b.} 7,2 m/s \hfill \textbf{c.} 25,9 m/s \hfill \textbf{d.} 120 m/s

    \item Un article coûte 80 €. Son prix passe à 100 €. Le taux d'évolution est de : \\
    \textbf{a.} $20$ \% \hfill \textbf{b.} $25$ \% \hfill \textbf{c.} $80$ \% \hfill \textbf{d.} $-20$ \%

    \item La droite passant par les points $A(1~;~3)$ et $B(3~;~7)$ a pour ordonnée à l'origine : \\
    \textbf{a.} $2$ \hfill \textbf{b.} $1$ \hfill \textbf{c.} $3$ \hfill \textbf{d.} $-1$
\end{enumerate}

\newpage

\section*{DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\textbf{Exercice 1 (4,5 points)}
\medskip

Dans une population, 80\,\% des individus sont vaccinés contre une maladie. Parmi eux, 5\,\% tombent malades. Parmi ceux qui ne sont pas vaccinés, 30\,\% tombent malades. On choisit un individu au hasard et on note $V$ l'évènement \og l'individu est vacciné \fg{} et $M$ l'évènement \og l'individu est malade \fg.

\begin{enumerate}
    \item Construire un arbre pondéré représentant la situation.
    \item Calculer la probabilité que l'individu soit vacciné et malade.
    \item Montrer que $P(M) = 0,1$.
    \item Sachant que l'individu est malade, quelle est la probabilité qu'il soit vacciné ? (Donner le résultat sous forme de fraction irréductible).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (5 points)}
\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O~;~\vec{i}~;~\vec{j})$, on considère les points $A(1~;~0)$, $B(3~;~0)$ et $C(2~;~-1)$.

\begin{enumerate}
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item Calculer le produit scalaire $\vect{CA} \cdot \vect{CB}$. Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?
        \item Déterminer une équation du cercle de diamètre $[AB]$.
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Justifier que la fonction du second degré $f$ dont la courbe passe par les points $A$, $B$ et $C$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
        \item Justifier que $y=2x-6$ est l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point $B$.
        \item Montrer que la tangente $T$ est parallèle à la droite d'équation cartésienne $4x - 2y + 5 = 0$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 (4,5 points)}
\medskip

Une population de bactéries compte 1 000 individus à l'instant $n=0$. On observe que chaque heure, la population augmente de 20\,\%, mais que 100 bactéries meurent à cause du milieu.
On note $u_n$ le nombre de bactéries au bout de $n$ heures.

\begin{enumerate}
    \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,2u_n - 100$.
    \item Déterminer la valeur de la population initiale $u_0$ pour laquelle l'effectif resterait constant chaque heure.
    \item Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n - 500$.
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $1,2$.
        \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}
    \item Déterminer la limite de $(u_n)$ puis l'interpréter dans le contexte de cette population de bactéries.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{CORRIGÉ}

\subsection*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES}

\begin{enumerate}[label=\textbf{(\arabic*)}, leftmargin=*]
    \item Réponse \textbf{c} car $\frac{2}{3} - \frac{5}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{3} - \frac{5}{12} = \frac{8-5}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
    \item Réponse \textbf{b} car augmenter de 25\,\% puis baisser de 20\,\% revient à multiplier par $1,25 \times 0,8 = 1$.
    \item Réponse \textbf{b} car $\frac{(a^3)^2}{a^{-4}} = \frac{a^6}{a^{-4}} = a^{6 - (-4)} = a^{10}$.
    \item Réponse \textbf{d} car $(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
    \item Réponse \textbf{a} car $3x - 1 > 5x + 3 \iff -2x > 4 \iff x < \frac{4}{-2} \iff x < -2$.
    \item Réponse \textbf{b} car $2x - 5 = 7x + 10 \iff -5x = 15 \iff x = \frac{15}{-5} = -3$.
    \item Réponse \textbf{a} car $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{7 - 3}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$.
    \item Réponse \textbf{c} car $15\,\% \times 60 = 0,15 \times 60 = 9$.
    \item Réponse \textbf{b} car $f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$.
    \item Réponse \textbf{a} car $72 \text{ km/h} = \frac{72}{3,6} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s}$.
    \item Réponse \textbf{b} car $t = \frac{V_F - V_I}{V_I} = \frac{100 - 80}{80} = \frac{20}{80} = 0,25 = 25\,\%$.
    \item Réponse \textbf{b} car le coefficient directeur est $m = \frac{7-3}{3-1} = 2$, et l'ordonnée à l'origine $p$ vérifie $y_A = m x_A + p \iff 3 = 2 \times 1 + p \iff p = 1$.
\end{enumerate}

\subsection*{DEUXIÈME PARTIE}

\textbf{Exercice 1}
\begin{enumerate}
    \item On obtient l'arbre pondéré suivant.
    \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[xscale=2, yscale=1.5, grow=right, 
        level 1/.style={sibling distance=2cm},
        level 2/.style={sibling distance=1cm}]
        \node {}
            child {node {$\bar{V}$}
                child {node {$\bar{M}$} edge from parent node[below] {0,7}}
                child {node {$M$} edge from parent node[above] {0,3}}
                edge from parent node[below] {0,2}
            }
            child {node {$V$}
                child {node {$\bar{M}$} edge from parent node[below] {0,95}}
                child {node {$M$} edge from parent node[above] {0,05}}
                edge from parent node[above] {0,8}
            };
    \end{tikzpicture}
    \end{center}
    \item On a $P(V \cap M) = 0,8 \times 0,05 = 0,04$.
    \item D'après la formule des probabilités totales, on a~: \\
    $P(M) = P(V \cap M) + P(\bar{V} \cap M) = 0,04 + 0,2 \times 0,3 = 0,04 + 0,06 = 0,1$.
    \item On a $P_M(V) = \frac{P(V \cap M)}{P(M)} = \frac{0,04}{0,1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}
\begin{enumerate}
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item On a $\vect{CA}\binom{-1}{1}$ et $\vect{CB}\binom{1}{1}$, donc $\vect{CA} \cdot \vect{CB} = (-1) \times 1 + 1 \times 1 = -1 + 1 = 0$. \\
        Les vecteurs $\vect{CA}$ et $\vect{CB}$ sont orthogonaux, on peut donc en déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
        \item Le centre $I$ du cercle de diamètre $[AB]$ est le milieu de $[AB]$~: $I\left( \frac{x_A+x_B}{2}~;~\frac{y_A+y_B}{2} \right) = \left( \frac{1+3}{2}~;~\frac{0+0}{2} \right) = (2~;~0)$. \\
        Son rayon $R$ est $\frac{AB}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{(3-1)^2+(0-0)^2} = \frac{2}{2} = 1$. \\
        L'équation du cercle est donc $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 = R^2$, soit $(x-2)^2 + y^2 = 1. \qedhere$
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Les points $A(1~;~0)$ et $B(3~;~0)$ appartiennent à la courbe de $f$, donc $1$ et $3$ sont les racines de $f(x)$. On en déduit la forme factorisée $f(x) = a(x-1)(x-3)$.\\
        Comme $C(2~;~-1)$ appartient à la courbe, on a $f(2) = -1 \iff a(2-1)(2-3) = -1 \iff -a = -1 \iff a = 1$.\\
        D'où $f(x) = (x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$.
        \item On a $f'(x) = 2x - 4$ donc $f'(3) = 2 \times 3 - 4 = 2$. L'équation de la tangente $T$ au point $B(3~;~0)$ est donnée par $y = f'(3)(x-3) + f(3)$, soit $y = 2(x-3) + 0 = 2x - 6$.
        \item La droite $d$ a pour équation $4x - 2y + 5 = 0 \iff 2y = 4x + 5 \iff y = 2x + 2,5$. \\
        Le coefficient directeur de $T$ est $2$ et celui de $d$ est également $2$. Les deux droites ayant le même coefficient directeur, elles sont parallèles.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 3}
\begin{enumerate}
    \item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n + 0,2u_n - 100 = 1,2u_n - 100$ car augmenter de 20\,\% revient à multiplier par $1,2$.
    \item La population est constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$, soit $u_0 = 1,2u_0 - 100 \iff 0,2u_0 = 100 \iff u_0 = \frac{100}{0,2} = 500$.
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n+1} = u_{n+1} - 500 = (1,2u_n - 100) - 500 = 1,2u_n - 600 = 1,2(u_n - 500) = 1,2v_n$. \\
        La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 1,2$.
        \item Le premier terme est $v_0 = u_0 - 500 = 1000 - 500 = 500$. \\
        Puisque $(v_n)$ est géométrique, $v_n = v_0 \times q^n = 500 \times 1,2^n$.\\
        On en déduit que $u_n = v_n + 500 = 500 \times 1,2^n + 500$.
    \end{enumerate}
    \item Comme $1,2 > 1$, $\lim_{n \to +\infty} 1,2^n = +\infty$, d'où $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.\\
    La population de bactéries va donc croître indéfiniment.
\end{enumerate}

\end{document}