\begin{questions}
\item Un autre type d'ondes est les \textit{ondes mécaniques}. Par exemple: les ondes sonores, qui nécessitent un milieu matériel pour se propager.


\item La relation entre la célérité $c$, la longueur d'onde $\lambda$, et la fréquence $f$ est donnée par :
\[
c = \lambda \times f.
\]

\item Avec $f= 403,2\text{ MHz} = 4,032\times 10^8\text{ Hz}$ et $c = 3,00\times10^8\rm m\cdot s^{-1}$:
\[
\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{4,032 \times 10^8}{3,00 \times 10^8} = 0,74\text{ m}.
\]
La longueur d'onde est donc d'environ 74 cm, ce qui correspond au domaine UHF. Ce choix est cohérent car d'après le tableau, les ondes UHF ont une longueur d'onde comprise entre 10 cm et 1 m.

\item La masse totale du système est :
\begin{align*}
m & = m_{\text{enveloppe}}  + m_{\text{nacelle}} m_{\text{hélium}}\\
  & = 80\text{ kg} + 150 \text{kg} + 50\text{ kg}\\
  & = 280\text{ kg}.
\end{align*}

\item La valeur du poids $P$ est donné par :
\[
P = m \times g = 280 \times 9,8 = \numprint{2744}\text{ N}.
\]

\begin{minipage}{0.85\linewidth}
\item
\begin{itemize}
\item Poids $\gvec{P}$: \numprint{2744} N, vertical vers le bas.

Représentation de 2,7 cm.

\item Poussée d'Archimède $\gvec{F}$: \numprint{3000} N, vertical vers le haut.

Représentation de 3 cm.
\end{itemize}

\item\label{devsynthq7} La somme des forces est :
\[
\sum \gvec{F} = \gvec{P} + \gvec{F}.
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.15\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{000_devsynth-sommeForces}
\end{center}
\end{minipage}


Ce vecteur est dirigé vers le haut, avec une norme de:
\[
F-P = \numprint{3000}-\numprint{2744} = 256\text{ N}.
\]

\item Une évaluation de la vitesse à $t = 1$ s est donnée par :
\[
v_1 = \dfrac{(h_1-h_0)+(h_2-h_1)}{2\cdot\Delta t} = \dfrac{h_2-h_0}{2\cdot\Delta t} = \dfrac{1,8}{2}=0,9\rm m\cdot s^{-1}.
\]
De même, on peut estimer la vitesse à $t=3$ s par :
\[
v_3 = \dfrac{(h_3-h_2)+(h_4-h_3)}{2\cdot\Delta t} = \dfrac{h_4-h_2}{2\cdot\Delta t} = \dfrac{5,4}{2}=2,7\rm m\cdot s^{-1}.
\]
La vitesse est $v_1=0,9 \rm m\cdot s^{-1}$ à $t_1 = 1,0$s et  $v_3=2,7 \rm m\cdot s^{-1}$ à $t_1 = 3,0$s.

\Par

La variation de vitesse $\Delta v$ est:
\[
\Delta v = v_3-v_1=2,7-0,9=1,8\rm m\cdot s^{-1}.
\]

\item Le calcul de $m\cdot\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ devrait donner une estimation (en Newton) de la résultante $R$ des forces s'exerçant sur le ballon :
\[
R = m\cdot\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = 280 \times \dfrac{1,8}{2} = 252\text{ N}.
\]
Cette valeur est cohérente avec celle trouvée à la question \ref{devsynthq7}.

\item D'après le graphique, la pression atmosphérique diminue avec l'altitude. Donc, lorsque l'altitude augmente, la pression dans le ballon-sonde diminue (la pression interne du ballon reste égale à la pression externe, car l'enveloppe est souple).

\item La loi de Mariotte s'énonce ainsi :
\[
P \times V = \text{constante}.
\]

\item Pendant l'ascension, la pression diminue. Selon la loi de Mariotte, si la pression $P$ diminue, le volume $V$ du ballon augmente pour maintenir \linebreak $P \times V = \text{constante}$.

Le ballon se dilate donc progressivement jusqu'à atteindre son volume maximal $V_{\text{max}}=\numprint{3440}~\rm m^3$.

En appliquant la loi de Mariotte, nous avons :
\[
\begin{cases}
P_0 \times V_0 = P \times V_{\rm max}\\
P = \dfrac{P_0 \times V_0}{V_{\rm max}} = \dfrac{1\cdot10^5 \times 270}{\numprint{3440}} \approx 7,85\cdot 10^3\text{ Pa} = 78,5 \text{hPa}.
\end{cases}
\]

Par lecture graphique, nous pouvons voir qu'une pression de 78,5 hPa correspond à une altitude d'environ 19,5 km.

L'altitude maximale que peut atteindre le ballon sans éclater est donc de 19,5 km.

\item Plusieurs facteurs expliquent que le ballon ait atteint 31 km en réalité, une altitude supérieure à la prédiction. La loi de Mariotte suppose une température reste constante, mais en réalité, la température diminue avec l'altitude. Le volume du ballon augmente bien avec l'altitude, mais moins rapidement. Par ailleurs, l'enveloppe du ballon est légèrement résistante, ce qui retarde encore un peu l'éclatement.
\end{questions}
