\be
% 1
\item L'énergie potentielle de pesanteur vaut :
        \begin{eqnarray*}
        E_{pp}
        & = & mg\,(z-z_{\text{ref}})=mgz-mgz_{\text{ref}}\\
        & = & mgz-0,2\times 10\times 10\\
        & \Rightarrow & E_{pp}=mgz-20\text{ (réponse \choix[a])}.
        \end{eqnarray*}

        % 2
        \item Conformément au rappel (\ref{1101111}) de la page \pageref{1101111}, la conversion entre les unités de vitesse s'écrit :
        \[1\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}=\frac{1}{3,6}\Uvitesse
            \Leftrightarrow 1\Uvitesse =3,6\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}\text{ (réponse \choix[b])}.
        \]

        % 3
        \item Par définition, l'énergie cinétique d'un point matériel de masse $m$ et de vitesse $v$ est définie par :
        \[E_c=\frac{1}{2}\,mv^2\text{ (réponse \choix[c])}.
        \]

        % 4
        \item Un point matériel d'énergie cinétique $E_c$ et d'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ a une énergie mécanique définie par :
        \[E_m=E_c+E_{pp}
        \]
        qui est constante en l'absence de frottements (réponse \choix[b]).

        % 5
        \Twopic{7.82}{
        \item Le marteau-pilon passe d'une altitude $z_A$ à une altitude $z_B$, auquel cas son énergie potentielle de pesanteur passe de :
        \[E_{pp}(A)=mgz_A+E_0\text{ à }E_{pp}(B)=mgz_B+E_0
        \]
        où $E_0$ est une constante. C'est pourquoi, au cours de la chute, l'énergie potentielle de pesanteur du marteau-pilon varie de la
        quantité :
        }{2.18}{113_energie_009}
        \begin{eqnarray*}
        \Delta E_{pp}
        & = & E_{pp}(B)-E_{pp}(A)=mg\,(z_B-z_A)\\
        & = & -mgh\text{ car }h=z_A-z_B\\
        & = & -\nombre{2000}\times 10\times 3\Rightarrow\Delta E_{pp}=-6.10^4\text{ J (réponse \choix[b])}.
        \end{eqnarray*}

        % 6
        \item Lorsqu'il est en $A$, le marteau-pilon présente une vitesse nulle (${v_A=0}$) et donc une énergie cinétique nulle :
        \[E_c(A)=\frac{1}{2}\,mv_A^2=0.
        \]
        En revanche, lorsqu'il est en $B$, son énergie cinétique prend une valeur ${E'_c=E_c(B)}$.\par
        Or, en $A$ et en $B$, l'énergie mécanique du marteau-pilon vaut :
        \[E_m(A)=E_{pp}(A)+E_c(A)=E_{pp}(A)
        \]
        et
        \[E_m(B)=E_{pp}(B)+E_c(B)=E_{pp}(B)+E'_c.
        \]
        L'absence de frottements se traduit alors par la conservation de l'énergie mécanique :
        \begin{eqnarray*}
        E_m(B)=E_m(A)
        & \Rightarrow & E_{pp}(B)+E'_c=E_{pp}(A)\\
        & \Rightarrow & E'_c=E_{pp}(A)-E_{pp}(B)=-\Delta E_{pp}\\
        & \Rightarrow & E'_c=6.10^4\text{ J (réponse \choix[b])}.
        \end{eqnarray*}
        \item L'énergie cinétique du marteau-pilon $E'_c$ est définie à partir de sa vitesse $v'$ juste avant le choc avec l'objet :
        \begin{eqnarray*}
        E'_c=\frac{1}{2}\,m{v'}^2
        & \Rightarrow & v'=\sqrt{\frac{2E'_c}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 6.10^4}{\nombre{2000}}}\\
        & \Rightarrow & v'\simeq 7,7\Uvitesse\text{ (réponse \choix[a])}.
        \end{eqnarray*}

        % 7
%        \item En supposant que l'énergie cinétique du marteau-pilon soit intégralement transformée en énergie thermique, on suppose que
%        ${Q=E'_c}$, c'est-à-dire, compte tenu des résultats aux questions 1 et 3 :
%        \[\nombre{18080}\times\Delta\theta =6.10^4\Rightarrow\Delta\theta =3,3\Utemp\text{ (réponse \choix[b])}.
%        \]

        % 7

        \item Le travail d'une force constante entre deux points $A$ et $B$ est donné par $W=\vec{F}\cdot\gvec{AB}$.

        Comme $\vec{F}$ est parallèle au déplacement, $\vec{F}$ et $\gvec{AB}$ sont colinéaires donc:
        \[
        W = F \times AB = 10 \times 5 = 50\text{ J. (réponse \choix[c])}
        \]

        % 8

        \item D'après le théorème de l'énergie cinétique,
        \[
        \Delta E_c = \sum W.
        \]
        Or, le travail $W$ de la force vaut $F \times d$ car la force est parallèle au déplacement. Donc,
        \begin{align*}
        \dfrac{1}{2}mv^2  = F \times d & \iff \dfrac{1}{2}\times3\times6^2=F \times 4\\
        & \iff 54=4F\\
        & \iff F = 13,5\text{ N (réponse \choix[b])}.
        \end{align*}

        % 9
        \item En l’absence de frottements, l'énergie potentielle initiale est intégralement convertie en énergie cinétique:
        \[
        mgh = \dfrac{1}{2}mv^2.
        \]
        Donc après simplification par $m$:
        \[
        v = \sqrt{2gh}.
        \]
        Or,
        \begin{align*}
        h & = L \times \sin(30^\circ) = 100 \times 0,5 = 50\text{ m}.\\
\text{Donc }v = & \sqrt{2 \times10\times50}=\sqrt{\numprint{1000}}\approx31,6\approx 32\text{ m/s. (réponse \choix[c]).}
        \end{align*}
    \ee
