    \be
        \item En $A$ et $B$, les mobiles ont une énergie potentielle de pesanteur :
        \[E_{pp}(A)=mgz_A+E_0\text{ et }E_{pp}(B)=mgz_B+E_0
        \]
        où $E_0$ est une constante. Ainsi :
        \begin{eqnarray*}
        E_{pp}(B)-E_{pp}(A)
        & = & (mgz_B+E_0)-(mgz_A+E_0)\\
        & = & mg\,(z_B-z_A)
        \end{eqnarray*}
        c'est-à-dire, en prenant l'énergie potentielle de $A$ nulle dans cette position :
        \[E_{pp}(B)=mg\,(z_B-z_A).
        \]
        \emph{Application numérique} :
        \[E_{pp}(B)=2\times 10\times 0,5=10\text{ J}.
        \]
        \item Soit $\ell$ la longueur dont se sont déplacés les mobiles de $A$ en $A'$ et de $B$ en $B'$.
        \Par
        \Form{124_energie_015}
        \Par
        Le point $A$ est monté d'une hauteur $h_A$ telle que :
        \[\sin\alpha =\frac{h_A}{AA'}=\frac{h_A}{\ell}\Rightarrow h_A=\ell\,\sin\alpha
        \]
        et le point $B$ est descendu d'une hauteur $h_B$ telle que :
        \[\sin\beta =\frac{h_B}{BB'}=\frac{h_B}{\ell}\Rightarrow h_B=\ell\,\sin\beta.
        \]
        Par conséquent, les points $A'$ et $B'$ ont pour altitudes respectives :
        \[z_{A'}=z_A+h_A=z_A+\ell\,\sin\alpha\text{ et }z_{B'}=z_B-h_B=z_B-\ell\,\sin\beta
        \]
        et donc pour énergies potentielles de pesanteur :
        \[\left\{\begin{array}{l}
        E_{pp}(A')=mgz_{A'}+E_0=mgz_A+mg\ell\,\sin\alpha +E_0\\
        E_{pp}(B')=mgz_{B'}+E_0=mgz_B-mg\ell\,\sin\beta +E_0.
        \end{array}\right.
        \]
        De plus, puisque le fil est inextensible, les mobiles arrivent en $A'$ et $B'$ avec une même vitesse $v$ qui leur confère une énergie
        cinétique :
        \[E_c(A')+E_c(B')=\frac{1}{2}\,mv^2+\frac{1}{2}\,mv^2=mv^2.
        \]
        Finalement, lorsque les mobiles sont en $A'$ et $B'$, l'énergie mécanique du système $\mc{S}$, composé des deux mobiles, de la poulie
        et des supports inclinés, vaut :

        \begin{eqnarray*}
        E'_m
        & = & E_m(A')+E_m(B')\\
        & = & mg\,(z_A+z_B)+mg\ell\,(\sin\alpha -\sin\beta )+2E_0+mv^2.
        \end{eqnarray*}

        Or, lorsque les mobiles sont partis de $A$ et $B$, sans vitesse initiale (donc sans énergie cinétique), leurs énergies mécaniques
        valaient :

        \[\left\{\begin{array}{l}
        E_m(A)=E_{pp}(A)=mgz_A+E_0\\
        E_m(B)=E_{pp}(B)=mgz_B+E_0.
        \end{array}\right.
        \]

        L'énergie mécanique du système $\mc{S}$ valait alors :

        \[E_m=E_m(A)+E_m(B)=mg\,(z_A+z_B)+2E_0.
        \]

        Enfin, l'absence de frottements se traduit par la conservation de l'énergie mécanique du système $\mc{S}$ : ${E'_m=E_m}$, c'est-à-dire
        :

        \[mg\,(z_A+z_B)+mg\ell\,(\sin\alpha -\sin\beta )+2E_0+mv^2=mg\,(z_B+z_B)+2E_0
        \]

        d'où il s'ensuit que :

        \[mg\ell\,(\sin\alpha -\sin\beta )+mv^2=0\Rightarrow v=\sqrt{g\ell\,(\sin\beta -\sin\alpha )}.
        \]

        \emph{Application numérique} :

        \[v=\sqrt{10\times 0,2\times\comp{\sin(60\Mdegre )-\sin(30\Mdegre )}}
            \Rightarrow v\simeq 0,86\Uvitesse.
        \]
    \ee
