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\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1SPCch06ExoTsunamis}}}
\vspace*{-10pt}
\begin{questions}
\item La fréquence de la houle associée aux tsunamis est simplement celle
mentionnée par les observateurs, soit 1 vague pour 20 minutes, ou encore :
\[\nu=\frac{1}{20\times 60}\approx 8{,}3\cdot 10^{-4}\mbox{~Hz}.\]

\item Pour déterminer célérité et longueur d'onde d'un tsunami en plein
océan, il faut savoir s'il faut se placer dans le cas profond ou dans le
cas peu profond. On va donc supposer successivement chaque cas, puis
on verra si la longueur d'onde obtenue vérifie la supposition.

\begin{questions}
\item On suppose que l'on est dans le cas profond. Alors la célérité
s'écrit :
\[v = \sqrt\frac{g\lambda}{2\pi},\]
donc on peut écrire :
\[\lambda = \frac{v}{\nu}=\frac 1\nu\sqrt\frac{g\lambda}{2\pi},\]
ce qui donne :
\[\lambda^2=\frac{1}{\nu^2}\frac{g\lambda}{2\pi},\]
d'où l'on déduit :
\[\lambda = \frac{g}{2\pi\nu^2}.\]
L'application numérique donne :

\[\lambda = \frac{10}{2\pi\times (8,3\cdot 10^{-4})^2}\approx 2,3\cdot 10^6\mbox{~m}.\]

On voit que l'on aboutit à une contradiction, puisque cette longueur d'onde est plus
grande que la profondeur de l'océan, donc on ne peut pas être dans le régime profond.

\item On suppose à présent que l'on est dans le cas peu profond. Alors la célérité
s'écrit :
\[v=\sqrt{gd}\]
et donc :
\[\lambda = \frac v\nu=\frac{\sqrt{gd}}{\nu}.\]
L'application numérique donne :
\[\lambda = \frac{\sqrt{10\times 10^4}}{8,3\cdot 10^{-4}}\approx 3,8\cdot 10^5\mbox{~m}\approx 380\mbox{~km}.\]
Cette longueur d'onde est bien supérieure à la profondeur de l'océan donc l'hypothèse est vérifiée est l'on est bien dans le cas peu profond.

On peut en déduire la célérité simplement par :
\[v = \sqrt{10\times 10^4}\approx 320\mbox{~m.s}^{-1}\approx \numprint{1140}\mbox{~km.h}^{-1}.\]
Les tsunamis ont donc une très grande longueur d'onde (presque la moitié du \og diamètre\fg de la France dans
le cas étudié) et se propagent à une très grande célérité. Certains peuvent traverser tout l'océan Pacifique
en une dizaine d'heures.
\end{questions}

\item On écrit que $vH^2$ se conserve, donc :
\[v_{\textrm{océan}}H_\textrm{océan}^2=v_\textrm{côte}H_\textrm{côte}^2.\]

On connaît $v_{\textrm{océan}}$, $H_\textrm{océan}$, et on veut déterminer $H_\textrm{côte}$, donc il faut au préalable calculer $v_\textrm{côte}$.  On l'obtient par :
\[v_\textrm{côte}=\sqrt{gd}=\sqrt{10\times 4}=6,3\mbox{~m.s}^{-1}\]
donc :
\[H_\textrm{côte}=H_\textrm{océan}\sqrt\frac{v_{\textrm{océan}}}{v_\textrm{côte}}=1\times\sqrt\frac{320}{6,3}\approx 7,1\mbox{~m}.\]
En fait la hauteur du tsunami lorsqu'il déferle dépend considérablement du profil de la côte, de l'endroit de déferlement, etc.,
et ce calcul simple ne peut donner au mieux qu'un ordre de grandeur de la hauteur de la vague. Certains tsunamis ont atteint
des hauteurs de 30~mètres.

\item Un tsunami est indétectable en plein océan, puisqu'il correspond à un soulèvement peu important de la surface
sur une très grande distance. En particulier les bateaux ne peuvent pas détecter la présence d'un tsunami
qui se propage à la surface.
\end{questions}
