\chapter{Pression dans\\les gaz et les liquides}

\section{Introduction}
\begin{exointro}{Lycée Van Dongen, Lagny}
Un hublot d'avion a pour dimensions $25$~cm~$\times$~$18$~cm. 
L'air à l'intérieur de l'avion est à la pression
$P_0=10^5$~Pa, alors que l'air extérieur est à la pression
$P_1=10^4$~Pa. Quelle est la résultante des forces pressantes
sur le hublot ?%
\end{exointro}

Dans ce chapitre, nous abordons l'étude des notions de
\index{Température}température et de
\index{Pression}pression d'un gaz sur le plan microscopique et
macroscopique, et nous présentons la relation fondamentale de
l'hydrostatique.

\section{Description d'un gaz à l'échelle microscopique}
\enlargethispage*{2em}

Un gaz tel que l'air contenu dans une salle de classe contient
un nombre considérable de particules (ici des molécules
de dioxygène et de diazote pour la plupart). Ces molécules
sont animées, dans les conditions standards, d'une vitesse
qui est de l'ordre de $500$~m.s$^{-1}$, et ont des trajectoires
totalement aléatoires, erratiques, qui sont perpétuellement
changées par les chocs contre les parois et par les chocs
entre particules elles-mêmes. Entre deux chocs les trajectoires
sont des segments de droite. Pour fixer les idées, l'air dans
la salle de classe se comporte comme un gigantesque billard,
en trois dimensions au lieu de deux, avec environ $10^{25}$ boules,
qui sont les molécules.

%\begin{aretenir}
Le mouvement erratique, aléatoire, d'une particule
dans un gaz est appelé le mouvement brownien.
%\end{aretenir}

Bien évidemment, il est impossible de décrire un gaz en étudiant
individuellement la trajectoire de chacune des particules qui
le composent. Il faut faire appel à des grandeurs macroscopiques,
qui permettent une description statistique du gaz. Température
et pression sont précisément des grandeurs macroscopiques qui
jouent ce rôle.

\begin{Remarque}
  \emph{macroscopique} est le contraire de \emph{microscopique}. Une propriété
  macroscopique du système est ici une propriété que l'on peut définir
  de manière globale, sans s'intéresser à ses composants individuels,
  les particules, qui sont microscopiques.
\end{Remarque}

\section{Notion de température}

La \index{Température}température caractérise l'{\em état
  thermique} d'un corps. Dans un gaz, elle est liée à la vitesse
d'agitation moyenne des molécules.  L'échelle de mesure des
températures courantes est l'échelle Celsius. À la pression
atmosphérique, l'eau gèle à $0$~\degres{}C et bout à $100$
\degres{}C. La dilatation d'un liquide tel que le mercure permet
d'interpoler et d'extrapoler l'échelle au-delà de ces limites. Le
symbole du degré \index{Echelle Celsius}Celsius est $^\circ$C. Une
température exprimée en degrés Celsius est
souvent notée $\theta$ (lettre grecque {\em theta}).

%Il existe une autre échelle de température, plus fondamentale,
%appelée échelle Kelvin, qui est basée sur l'existence d'une
%température minimale : il existe une température au-dessous
%de laquelle il est impossible de descendre ; cette température
%est appelée le zéro absolu et correspond à l'absence complète
%d'agitation des particules dans un système (et comme la
%température représente l'agitation des particules, on voit qu'il
%est impossible de faire plus froid).\\
%La température, sur l'échelle Celsius, du zéro absolu est :
%\[\vartheta=-273{,}15\;^\circ C.\]
%L'échelle Kelvin est définie en rajoutant $273{,}15$~degrés
%à l'échelle Celsius, ce qui permet d'obtenir une température
%toujours positive, et nulle au zéro absolu.\\
%Le symbole du degré Kelvin est~K (pas $^\circ$K). Une température
%exprimée en degrés Kelvin est souvent notée $T$.

\section{Notion de pression}

La température caractérisait la vitesse d'agitation des particules
dans un gaz. La pression, elle, caractérise l'intensité de tous
les chocs de particules subis par une paroi.

\subsection{Force pressante subie par une surface}

%Un ballon gonflé est gonflé précisément parce que les molécules qui s'agitent à l'intérieur viennent heurter ses parois à l'intérieur.
Un ballon est gonflé par l'agitation des molécules qui viennent heurter ses parois intérieures.

\Par

De manière plus formelle, lorsqu'une surface plane est plongée dans un fluide (liquide ou gaz), elle reçoit de ce fluide une force, appelée force pressante, qui est perpendiculaire à la surface et proportionnelle à celle-ci.
\enlargethispage*{5em}

\begin{minipage}{70mm}
\includegraphics{062_213_09c_forcepressante01}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-75mm}
\centering
\textit{La force pressante est perpendiculaire à la surface. La force est exercée par un fluide qui se trouve à gauche de la surface.}
\end{minipage}

\newpage

Bien évidemment, si cette surface est en contact avec le fluide des
deux côtés, elle reçoit deux forces pressantes qui se compensent. En
revanche, si elle est en contact avec des fluides différents des deux
côtés (vitre d'aquarium, hublot d'avion, hublot de sous-marin, etc.)
alors les forces pressantes ne se compensent plus.

\begin{defin}
  La pression est la force exercée par unité de surface.
\end{defin}

Si on note $P$ la pression, elle est donc donnée par :
\[P=\frac FS\;,\] où~$F$ est la \index{Force pressante}force pressante
exercée par le fluide sur une surface plane d'aire~$S$.


\subsection{Unités et mesure}

Dans les unités du Système International, elle se mesure donc en
N.m$^{-2}$, encore appelé \index{Pascal}pascal, de symbole~Pa.  On
utilise souvent l'hecto-pascal, de symbole~hPa. On a :
${1\text{ hPa} =100\text{ Pa}}$.

{La pression standard est $P_0=101\,325$~Pa~$=1\,013{,}25$~hPa.}

\begin{Remarque}
  d'autres unités fréquemment utilisées sont :
  \begin{itemize}
  \item L'\index{Atmosphère}atmosphère, de symbole~atm. On a
    : $1$~atm~$=P_0=101\,325$~Pa.
    \begin{Exemple}
      une pression $p=3$~atm vaut, en pascals :\\
      ${p=3\times 101\,325=
        303\,975}$~Pa.
    \end{Exemple}
  \item Le millimètre de \index{Millimètre de mercure}mercure (de
    symbole~mm~Hg).
  \end{itemize}
\end{Remarque}


Une pression se mesure à l'aide d'un
\index{Manomètre}manomètre.



\section{Loi de Mariotte}

\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez une illustration de la loi de Mariotte en vidéo.]{loi de Mariotte}{https://media.prepamath.fr/IL1SPCch03LoiMariotte}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.2){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1SPCch03LoiMariotte}}}
\vspace*{-10pt}


Le Français Edme Mariotte et l'irlandais Robert Boyle ont, au cours du
XVII\ieme{} siècle, découvert indépendamment la loi qui porte leur nom,
et qui peut s'énoncer ainsi:
\begin{aretenir}[loi de Mariotte]
\index{Loi de Boyle-Mariotte}À température donnée, le produit de la
pression $P$ et du volume $V$ d'une quantité de gaz donnée est
constante : $P\times V=\mbox{constante}$.
\end{aretenir}

\newpage

Cette loi est très bien vérifiée par les gaz aux basses pressions
(pressions de l'ordre de la pression atmosphérique). Elle est
rigoureusement exacte dans le cas des gaz parfaits. Elle est
indépendante de la nature (composition chimique) du gaz considéré.  On
pouvait s'y attendre dans la mesure où la première hypothèse des gaz
parfaits suppose que les particules du gaz parfait sont des masses
ponctuelles, et donc ne considère absolument pas la structure atomique
ou moléculaire (c'est-à-dire l'identité chimique) des particules du
gaz.

Ainsi, considérons un gaz à une température donnée $\theta$, dans une
enceinte de volume $V_1$ et à la pression $P_1$. On suppose que l'on
fait
varier le volume de l'enceinte, de manière à ce qu'il devienne
$V_2$. Si la température est maintenue égale à $\theta$, alors le
gaz se retrouve à une pression $P_2$ qui vérifie l'égalité:

\[P_1\times V_1=P_2\times V_2.\]

Nous verrons dans les classes ultérieures que ce produit dépend de la
température (raison pour laquelle il est très important de spécifier
\og à température constante \fg dans l'énoncé de la loi de
Boyle-Mariotte). Ceci nous conduira à l'équation d'état des gaz
parfaits.
%\enlargethispage*{2em}

\begin{solintro}
On commence par évaluer la force pressante $F_i$ sur la face
intérieure du hublot.  Cette force est donnée par :
\[F_i=S\times P_0\;,\]
où $S=0{,}25\times 0{,}18=0{,}045$~m$^2$ (attention à travailler dans les unités du Système International).


\parbox{\linewidth}{%
\begin{center}
\includegraphics{064_216_09c_hublotavion}
\figcaption{Bilan des forces pressantes sur le hublot d'avion.}
\end{center}
}

L'application numérique donne :
$$F_i=10^5\times 0{,}045=4\,500\text{ N}.$$
\Break
De la même manière, la force pressante $F_e$ sur la face
extérieure du hublot est :
$$F_e=P_1\times S = 10^4\times 0{,}045=450\text{ N}.$$
La résultante de ces deux forces, qui sont parallèles et
opposées, est une force dirigée vers l'extérieur de l'avion
et de valeur :
\[F=F_i-F_e=4\,500-450=4\,050\text{ N}.\]
\end{solintro}


\section{Relation fondamentale de l'hydrostatique}


\begin{exointro}{Lycée Victor Hugo, Bordeaux}
  On considère la situation représentée ci-dessous:
  \begin{center}
\includegraphics{065_217_09c_2013_exotype2}
\end{center}
   Un tube à essais est
  renversé sur une cuve contenant de l'eau. On observe un dénivelé $h$
  entre le niveau de l'eau dans la cuve et celui de l'eau dans le tube
  à essais.

\Par

Quelle est, dans les unités du Système International, la pression $P$
de l'air emprisonné dans le tube à essais ?

\Par

\begin{minipage}[t]{2cm}
{\em Données :}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{\dimexpr\linewidth-2cm}
\begin{itemize}
\item Intensité de la pesanteur: $g=9{,}8$~N.kg$^{-1}$.
\item Masse volumique de l'eau: $\rho = 1{,}0$~g.cm$^{-3}$.
\item Pression atmosphérique: $P_\mathrm{atm}=\numprint{101325}$~Pa.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{exointro}

\begin{defin}
  On appelle \index{Masse volumique}\textit{masse volumique} d'un corps la
  masse par unité de volume de ce corps. Dans les unités du Système
  International, elle s'exprime en kilogramme par mètre cube
  ($\rm kg.m^{-3}$).
\end{defin}

En unités du Système International, la masse volumique est donc la masse
d'un mètre cube du corps.

Dans un liquide incompressible de masse volumique $\rho$, au repos, on
a, entre deux points quelconques~A et~B à l'intérieur du liquide la
relation donnée ci-dessous:

\begin{aretenir}
  \index{Loi fondamentale de l'hydrostatique}Relation
  fondamentale de l'hydrostatique:
\[P_B-P_A=\rho \times g \times h,\]
où $P_B$ est la pression au point~B et $P_a$ la pression au point~A,
$g$ l'intensité de la pesanteur, $\rho$ la masse volumique du fluide
et $h$ la différence d'altitude entre les deux points.
\end{aretenir}

On représente schématiquement la situation à la figure ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{066_217_09c_2013_rfhydro}
\end{center}

La relation fondamentale de l'hydrostatique appelle quelques
commentaires:
\begin{itemize}
\item elle n'est valable que si le liquide est au repos (d'où le
  qualificatif de loi de l'\textit{hydrostatique});
\item la pression est toujours plus élevée au point le plus bas (dans
  le cas représenté ci-dessus il s'agit du point B). En cas de doute
  en cours de devoir, on s'assurera bien que chaque membre de
  l'égalité est positif (ici $P_B>P_A$ donc \linebreak$P_B-P_A>0$, et
  $\rho \times g\times h>0$);
\item $h$ n'est pas la distance qui sépare les points, mais la
  différence d'altitude. En particulier, si ceux-ci sont à la même
  altitude, ils sont à la même pression;
\item les points A et B ne sont pas nécessairement sur la même
  verticale (voir à ce titre la correction de l'exercice type).;
\item on peut appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique si
  on peut passer continûment du point~A au point~B en restant
  toujours dans le même fluide.
\end{itemize}


\begin{solintro}
  Nous considérons les deux points A et B représentés sur la figure
  ci-dessous.
  \Par
\begin{center}
\includegraphics{066_218_09c_2013_soltype2}
\end{center}
\vspace*{-3mm}
\Break
La différence d'altitude entre ces deux points est $h=7$~cm. Nous
pouvons écrire la relation fondamentale de l'hydrostatique relative à
ces points:
\[P_B-P_A=\rho \times g \times h.\]
Or, la pression au point~B, qui se trouve à la surface libre de la
cuve, au contact de l'atmosphère, est la pression atmosphérique:
\[P_B=P_\mathrm{atm}.\]
De la même manière, la pression au point~A, en contact avec l'air
emprisonné dans le tube à essais, vérifie:\vspace*{-0.75em}
\[P_A = P.\]


Nous pouvons donc réécrire la relation fondamentale de l'hydrostatique
comme:\vspace*{-.75em}
\[P_{\mathrm{atm}}-P=\rho\times g\times
  h\mbox{~~~soit~:~~~}P=P_\mathrm{atm}-\rho\times g\times h.\]

Nous effectuons à présent l'application numérique, après avoir dûment
converti toutes les grandeurs dans les unités du Système
International.

%\Break


Combien devons-nous laisser de chiffres significatifs à ce résultat ?
Notons que la hauteur d'eau dans le tube à essais n'est donnée qu'avec
un chiffre significatif, donc la \textit{différence} de pression $\rho
g h$, qui est une petite quantité ($P$ diffère peu de
$P_\mathrm{atm}$, comme nous allons le voir), n'est connue qu'avec un
chiffre significatif.
Ainsi:
\[\rho\times g\times h=10^3\times 9{,}8\times 0{,}07=7\times 10^2\mbox{~Pa}.\]
Le dernier chiffre significatif est donc celui des centaines de pascals.

%\Break
Par conséquent:
\[P=\numprint{101325}-7\times 10^2=1{,}006\times 10^5\mbox{~Pa}.\]
Le chiffre des centaines de pascals est le quatrième et dernier
chiffre significatif.
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}
