\onglet

\begin{qcm}{Testez vos connaissances}{30}
\begin{questions}
% 1
\item À une hauteur donnée par rapport au sol, les ondes se propagent  plus vite sur la corde: \resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} la plus légère & 
\choix{} la plus lourde & 
\choix{} ni l'une ni l'autre
\end{tabularx}

% 2 
\item On considère une corde lisse homogène accrochée  au plafond d'un gymnase. Son extrémité inférieure est libre. Les ondes mécaniques qui se propagent le long de cette corde lorsque l'on agite son extrémité inférieure se propagent plus vite: \resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} en haut & \choix{} en bas & \choix{} ni l'un ni l'autre
\end{tabularx}

% 3
\item Les ondes sonores peuvent-elles se propager dans le vide ? \resetchoix 
\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} oui & \choix{} non & 
\end{tabularx}

% 4
\item On considère deux cordes tendues,  identiques, parallèles et proches l'une de l'autre de masse linéique $\mu$ et de tension $T$ chacune, comme représenté ci-dessous. La célérité des ondes mécaniques est donc $v=\sqrt{T/\mu}$.\resetchoix\par
\begin{center}
\includegraphics{157_01e_qcm2009-chap1-2}
\end{center}
\par
On les rend solidaires l'une de l'autre en les liant en plusieurs endroits par des cordelettes de masse négligeable, comme représenté ci-dessus. L'ensemble se comporte donc comme une corde unique. À quelle célérité s'y propagent les ondes mécaniques?\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} $v/2$ & \choix{} $\dfrac{v}{\sqrt{2}}$ & \choix{} $v$\\
\choix{} $\sqrt{2}v$ & \choix{} $2v$ & \choix{} $v^2$
\end{tabularx}

% 5
\item Lorsque l'on augmente la fréquence d'une onde, à célérité fixée, on :\resetchoix \par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} augmente & \choix{} diminue & 
\end{tabularx}
\par
sa longueur d'onde.

% 6
\item Les sons aigus ont une fréquence plus \resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} petite & \choix{} grande & 
\end{tabularx}
\par
que les sons graves.

% 7
\item La longueur d'onde des sons graves est plus \resetchoix \par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix{} petite & \choix{} grande & 
\end{tabularx}
\par
que celle des sons aigus.


% 8
\item Si on multiplie par deux la fréquence d'un son, on multiplie sa longueur d'onde par \resetchoix\par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $\dfrac 12$ & \choix{} $2$\\[3mm]
\choix{} $4$ & \choix{} elle ne change pas
\end{tabularx}
 
 % 9 
\item Une chauve-souris émet des ultrasons de fréquence $f=34$~kHz pour se repérer dans l'espace. Quelle est leur longueur d'onde ? \resetchoix \par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XX@{}}
\choix{} $1$~m & \choix{} $1$~cm \\
\choix{} $10$~cm & \choix{} $1$~mm
\end{tabularx}

% 10
\item Une onde sinusoïdale se propage à une célérité $v = 2 \rm m/s$ avec une fréquence $\nu = 5$~Hz. Quelle est sa longueur d’onde $\lambda$ ?\resetchoix\par 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $\lambda=0,4$ m & \choix $\lambda = 2,5$ m\\
\choix $\lambda=10$ m & \choix $\lambda=0,2$ m
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}


\begin{corrige}
\begin{questions}
% 1
\item Réponse \choix[c]. En effet, la tension est proportionnelle au poids de la partie
de la corde qui est située au-dessous, laquelle est proportionnelle à la masse linéique. Le quotient
$T/\mu$ ne dépend donc pas de la masse linéique, et la célérité non plus.

% 2
\item Réponse \choix[a]. La tension est en effet plus grande en haut de la corde (en vertu de la première réponse à la question 9), et la célérité des ondes mécaniques est également plus grande.  

% 3
\item Réponse \choix[b]. Les ondes sonores se propagent de proche en proche suite à des compressions
et détentes successives de tranches d'air (ou d'un gaz quelconque). Elles ne peuvent donc pas se propager dans
le vide.

% 4
\item Réponse \choix[c]. La tension de l'ensemble vaut en effet $2mg$, et la masse linéique vaut $2\mu$. Le fait que les deux cordes soient rendues solidaires n'a pas d'importance, elles bougent
simplement de concert et les ondes s'y propagent donc à la célérité $v$. Le choix \choix[f] est absurde : la grandeur suggérée n'a pas les dimensions d'une vitesse !

% 5
\item Réponse \choix[b]. En effet on a : $\lambda = \dfrac v\nu.$

% 6
\item Réponse \choix[b]. Les sons aigus ont une fréquence plus grande que les sons graves.

% 7
\item  Réponse \choix[b]. Les sons graves ont donc une longueur d'onde plus grande que les sons aigus.

%8
\item Réponse \choix[a].

% 9
\item Réponse \choix[b]. Il suffit d'utiliser la relation $\lambda=\frac v \nu$, où $v$ est la vitesse du son dans l'air ($v = 340~{\rm m.s^{-1}}$).

% 10
\item Réponse \choix[a]. Il suffit d’utiliser la formule de la longueur d’onde:
\[
\lambda = \dfrac{v}{\nu} = \dfrac{2}{5}=0,4\text{ m}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 2

\begin{exo}{Étude du mascaret}{Lycée Lavoisier, Paris}{2}{10}
Le mascaret est une vague qui remonte l'estuaire
de certains fleuves lorsque la marée monte. Sa hauteur dépend
du fleuve, du coefficient de marée, et dans certain cas cette vague peut être
particulièrement destructrice. Nous admettrons que sa célérité
est : $v=25$~km.h$^{-1}$.

\Par

On représente l'aspect de la surface de l'eau vue en coupe le
long du fleuve à un instant $t_0=0$ sur la figure ci-après. Les
abscisses positives sont orientées vers la source du fleuve.

%
\begin{center}
\includegraphics[width=.87\textwidth]{160_01e_nemascaret}
\end{center}

On cherche à savoir quelle sera la perturbation au point~M 
à l'instant $t_1=5{,}04$~s. Quel point~N se trouve avoir la
même perturbation à l'instant~$t_0$ ?
\begin{questions}
\item En quel point~N' la perturbation qui existe au point~M' à
l'instant~$t_0$ arrivera-t-elle à l'instant $t_1$ ?
\item En déduire l'allure de la surface de l'eau à l'instant~$t_1$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On applique le même genre de raisonnement. Le point~N' est tel que le retard $\tau=(x_{N'}-x_{M'})/v$ est égal
à $t_1-t_0$, donc :
\[x_{N'}-x_{M'}=x_M-x_N\;,\]
où le choix du signe est imposé par la direction de propagation du mascaret. 
On en déduit :
\[x_{N'}=20+35=55\mbox{~m}.\]
À l'instant $t_1$ le point~N' a donc une élongation égale à la hauteur du mascaret.


\item On reporte sur le schéma page suivante l'allure du mascaret à la date $t_1$ (en pointillés on a reporté l'allure de la surface à la date $t_0$).

%
\begin{center}
\includegraphics[width=0.87\textwidth]{164_01e_nemascaretsol01}
\end{center}

\end{questions}
\end{corrige}
 

%%% 3

\begin{exo}{Étude de la houle}{Lycée Claude Bernard, Paris}{2}{10}
Un pêcheur observe que les vagues (houle) arrivent sur la plage toutes les 8 secondes. Il mesure que la distance entre deux crêtes successives est de 50 mètres.
\begin{questions}
\item Calculer la célérité des vagues.
\item Si le vent change et que la période des vagues devient 6 secondes, que devient la longueur d’onde si la célérité reste constante ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La célérité $v$ d’une onde périodique est donnée par :
\[
v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{50}{8} = 6,25~{\rm m.s^{-1}}.
\]
La célérité des vagues est de $6,25~{\rm m.s^{-1}}$.

\item Si la célérité reste la même, mais que la période $T$ est remplacée par une autre période $T'$, on peut calculer la nouvelle longueur d’onde $\lambda'$ ainsi :
\[
\lambda ' = 	v \times T' = 6,25 \times6 = 37,5\text{ m}.
\]
\end{questions}
\end{corrige}


%%% 4

\begin{exo}{Étude d’un sismogramme}{Lycée Claude Bernard, Paris}{2}{15}
Lors s’un séisme, deux types d’ondes sont détectées par le sismographe : les ondes $P$ et les ondes $S$. Les ondes $P$ sont détectées en premier car elles ont une célérité de propagation supérieure à celle des ondes $S$.

La célérité des ondes $P$ est de $v_P = 6$~km.s$^{-1}$ et celle des ondes $S$ est de $v_S = 3,5$~km.s$^{-1}$.

Voici le relevé sismographique d’une station sismique :
\Par
\begin{center}
\includegraphics{000_06_sismographe}
\end{center}

\begin{questions}
\item Par lecture graphique, donner le décalage $t_S-t_P$ entre l’enregistrement des ondes $P$ et celui des ondes $S$.

\item En fixant l’origine des temps au moment de déclenchement du séisme et en appelant $d$ la distance entre l’épicentre et la station sismique, exprimer $t_P$ en fonction de $v_P$ et de $d$. Puis exprimer $t_S$ en fonction de $v_S$ et de $d$.

\item En déduire une relation entre $t_S-t_P$ et $v_P$, $v_S$ et $d$.

\item Calculer $d$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On peut lire graphiquement que $t_S-t_P=15$ s.

\item Les ondes $S$ se propagent à la vitesse $v_S$, donc:
\[
t_S=\dfrac{d}{v_S}.
\]
De même, les ondes $P$ se propagent à la vitesse $v_P$ donc:
\[
t_P=\dfrac{d}{v_P}.
\]

\item Donc:
\[
t_S-t_P=\dfrac{d}{v_S}-\dfrac{d}{v_P} = d\times\left(\dfrac{1}{v_S}-\dfrac{1}{v_P}\right).
\]

\item Finalement,
\[
d = \dfrac{t_S-t_P}{\frac{1}{v_S}-\frac{1}{v_P}} = \dfrac{15}{\frac{1}{3.5}-\frac{1}{6}} = 126\text{ km}.
\]
L’épicentre du séisme est situé à 126 km du sismographe.
\end{questions}
\end{corrige}

%%% 5

\begin{exo}{Tsunamis}{Lycée Henri IV, Paris}{3}{15}
\NathanLiveVideo[\PictoVideo\ Retrouvez le corrigé de cet exercice en vidéo.]{tsunamis}{https://media.prepamath.fr/IL1SPCch06ExoTsunamis}

\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0.4){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1SPCch06ExoTsunamis}}}
\vspace*{-10pt}

On s'intéresse dans cet exercice aux {\em tsunamis}.
Les tsunamis sont des vagues extrêmement destructrices  créées, par exemple, par des séismes sous-marins. Ces vagues se propagent à la surface de l'océan et arrivent aux côtes où elles peuvent occasionner des dommages considérables.

\newpage

\begin{questions}
\item Des observateurs rapportent que lors du passage d'un tsunami, on vit 
déferler 7 énormes vagues, et que deux vagues successives étaient séparées
par un intervalle de 20~minutes. Quelle est la fréquence de l'onde de houle
associée au tsunami ? 
\item Quelle est la célérité d'un tsunami en plein océan ? Quelle est sa longueur d'onde en plein océan ?
\item On admettra que la quantité $vH^2$ est conservée lorsque le tsunami se
propage, où $v$ est sa célérité et $H$ la hauteur de la houle. Si la hauteur
d'un tsunami en plein océan est $1$~m, quelle est la hauteur de la déferlante
sur des côtes peu profondes, où la profondeur moyenne de l'eau est de $4$~m ?
\item Un tsunami est-il détectable en plein océan ?
%\item Un tsunami arrive du sud entre les deux îles~A et~B représentées page ci-contre.
%
%On supposera que la profondeur de l'océan entre ces îles est la même qu'en
%plein océan. Y a-t-il risque de raz-de-marée dans le port~V de l'île~C ?
%On justifiera soigneusement.
\end{questions}
%
%\begin{center}
%\includegraphics{161_02e_neexotsunami01}
%\end{center}

\emph{Données :}

\begin{itemize}
\item On supposera qu'en plein océan la profondeur est uniforme et vaut $d=10$~km.

\item Intensité de la pesanteur : $g=10$~m.s$^{-2}$.
\end{itemize}

\textit{Indication} :

On admettra que la célérité $v$ de la houle est donnée par les formules suivantes :

\Par

\textbf{Dans le cas peu profond} où la profondeur~$d$ est inférieure à la longueur d'onde :
\[v=\sqrt{gd}.\]

\textbf{Dans le cas profond} où la profondeur~$d$ est supérieure à la longueur d'onde $\lambda$, on a :
\[v= \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.\]
\end{exo}


\begin{corrige}
\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.2){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/IL1SPCch06ExoTsunamis}}}
\vspace*{-10pt}
\begin{questions}
\item La fréquence de la houle associée aux tsunamis est simplement celle
mentionnée par les observateurs, soit 1 vague pour 20 minutes, ou encore :
\[\nu=\frac{1}{20\times 60}\approx 8{,}3\cdot 10^{-4}\mbox{~Hz}.\]

\item Pour déterminer célérité et longueur d'onde d'un tsunami en plein
océan, il faut savoir s'il faut se placer dans le cas profond ou dans le
cas peu profond. On va donc supposer successivement chaque cas, puis
on verra si la longueur d'onde obtenue vérifie la supposition.

\begin{questions}
\item On suppose que l'on est dans le cas profond. Alors la célérité
s'écrit :
\[v = \sqrt\frac{g\lambda}{2\pi},\]
donc on peut écrire :
\[\lambda = \frac{v}{\nu}=\frac 1\nu\sqrt\frac{g\lambda}{2\pi},\]
ce qui donne :
\[\lambda^2=\frac{1}{\nu^2}\frac{g\lambda}{2\pi},\]
d'où l'on déduit :
\[\lambda = \frac{g}{2\pi\nu^2}.\]
L'application numérique donne :

\[\lambda = \frac{10}{2\pi\times (8,3\cdot 10^{-4})^2}\approx 2,3\cdot 10^6\mbox{~m}.\]

On voit que l'on aboutit à une contradiction, puisque cette longueur d'onde est plus
grande que la profondeur de l'océan, donc on ne peut pas être dans le régime profond.

\item On suppose à présent que l'on est dans le cas peu profond. Alors la célérité
s'écrit :
\[v=\sqrt{gd}\]
et donc :
\[\lambda = \frac v\nu=\frac{\sqrt{gd}}{\nu}.\]
L'application numérique donne :
\[\lambda = \frac{\sqrt{10\times 10^4}}{8,3\cdot 10^{-4}}\approx 3,8\cdot 10^5\mbox{~m}\approx 380\mbox{~km}.\]
Cette longueur d'onde est bien supérieure à la profondeur de l'océan donc l'hypothèse est vérifiée est l'on est bien dans le cas peu profond.

On peut en déduire la célérité simplement par :
\[v = \sqrt{10\times 10^4}\approx 320\mbox{~m.s}^{-1}\approx \numprint{1140}\mbox{~km.h}^{-1}.\]
Les tsunamis ont donc une très grande longueur d'onde (presque la moitié du \og diamètre\fg de la France dans
le cas étudié) et se propagent à une très grande célérité. Certains peuvent traverser tout l'océan Pacifique
en une dizaine d'heures.
\end{questions}

\item On écrit que $vH^2$ se conserve, donc :
\[v_{\textrm{océan}}H_\textrm{océan}^2=v_\textrm{côte}H_\textrm{côte}^2.\]

On connaît $v_{\textrm{océan}}$, $H_\textrm{océan}$, et on veut déterminer $H_\textrm{côte}$, donc il faut au préalable calculer $v_\textrm{côte}$.  On l'obtient par :
\[v_\textrm{côte}=\sqrt{gd}=\sqrt{10\times 4}=6,3\mbox{~m.s}^{-1}\]
donc :
\[H_\textrm{côte}=H_\textrm{océan}\sqrt\frac{v_{\textrm{océan}}}{v_\textrm{côte}}=1\times\sqrt\frac{320}{6,3}\approx 7,1\mbox{~m}.\]
En fait la hauteur du tsunami lorsqu'il déferle dépend considérablement du profil de la côte, de l'endroit de déferlement, etc.,
et ce calcul simple ne peut donner au mieux qu'un ordre de grandeur de la hauteur de la vague. Certains tsunamis ont atteint
des hauteurs de 30~mètres.

\item Un tsunami est indétectable en plein océan, puisqu'il correspond à un soulèvement peu important de la surface
sur une très grande distance. En particulier les bateaux ne peuvent pas détecter la présence d'un tsunami
qui se propage à la surface.
\end{questions}
\end{corrige}
 

%%% 6

\begin{exo}{Analyse spectrale}{Lycée Claude Bernard, Paris}{3}{30}
Un haut-parleur produit successivement trois sons qui sont enregistrés par un ordinateur équipé d'un microphone et dont peut visualiser les tensions $u_1$, $u_2$ et $u_3$\enlargethispage*{5em} :
  \Form{158_02e_001spectre001}
  \newpage
  \Form{158_02e_001spectre002}
  \Form{159_02e_001spectre003}

\begin{questions}
\item Déterminer graphiquement les périodes $T_1$, $T_2$ et $T_3$ de ces sons.

\item Déterminer les fréquences $f_1$, $f_2$ et $f_3$ correspondantes.
  
  
\item On réalise, grâce à l'ordinateur, la somme des trois tensions précédentes : ${u=u_1+u_2+u_3}$ et on visualise ce nouveau signal à l'écran d'un oscilloscope :
  \Form{159_02e_001spectre004}
  Déterminer la période $T$ et la fréquence $f$ de la tension $u$.
  
  \textit{Données}: la gamme de fréquences audibles s’étend de 20 Hz à 20kHz.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La période d'un signal désigne le plus petit temps au bout duquel le signal se reproduit identiquement à lui-même :
  \[T_1=6.10^{-3}\text{ s, }T_2=2.10^{-3}\text{ s et }T_3=3.10^{-3}\text{ s.}
  \]
  \Form{162_02e_001spectre006}
  \Form{163_02e_001spectre005}
  \Form{163_02e_001spectre007}
  
  
\item En appliquant la formule $f=\dfrac{1}{T}$, on obtient: 
\[
\begin{array}{l}
f_1=\dfrac{1}{T_1}=167\text{ Hz}\,,\\
f_2=\dfrac{1}{T_2}=500\text{ Hz}\,,\\
f_3=\dfrac{1}{T_3}=333\text{ Hz}.
\end{array}
\]
 
  
\item À nouveau, la période de $u$ désigne le plus petit temps $T$ au bout duquel la tension $u$ se reproduit identiquement à elle-même:
  \Form{163_02e_001spectre008}
  À cette période $T=6.10^{-3}\text{ s}$ est alors associée la fréquence :
  \[f=\frac{1}{T}=167\text{ Hz.}
  \]
  
\item La gamme de fréquences audibles s’étend de 20 Hz à 20kHz. La fréquence du son émis (167 Hz) est donc dans cette gamme. Le son est donc audible.
\end{questions}
\end{corrige}




\thumb\AfficheCorrige
