\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, on a : $\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3b_n\\
b_{n+1} = 0,4a_n+0,7b_n
\end{cases}$.

\item
\begin{questions}
\item On a : $U_{n+1} = AU_n$ avec $A = \begin{pmatrix}
0,6 & 0,3\\
0,4 & 0,7
\end{pmatrix}$.

\item On a donc : $U_n = A^nU_0$.

\item On obtient alors $U_{15}\approx\begin{pmatrix}0,43\\0,57\end{pmatrix}$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item En utilisant $a_n+b_n=1$, on obtient :
\begin{align*}
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3b_n\\
b_{n+1} = 0,4a_n+0,7b_n
\end{cases} &
\iff
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,6a_n+0,3(1-a_n)\\
b_{n+1} = 0,4(1-b_n)+0,7b_n
\end{cases}\\
&
\iff
\begin{cases}
a_{n+1} = 0,3a_n+0,3\\
b_{n+1} = 0,3b_n+0,4
\end{cases}
\end{align*}
Donc, $\begin{pmatrix}
a_{n+1}\\b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,3 & 0\\
0 & 0,3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_n\\b_n
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0,3\\0,4
\end{pmatrix}$.

On a donc $D =\begin{pmatrix}
0,3 & 0\\
0 & 0,3
\end{pmatrix}$ et $E = \begin{pmatrix}
0,3\\0,4
\end{pmatrix}$.

\item On pose $C = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
\[
C=DC+E\iff \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0,3a\\0,3b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0,3\\0,4
\end{pmatrix}.
\]
On a donc : $a = 0,3a + 0,3$ et $b = 0,3 b + 0,4$, donc $a = \dfrac{3}{7}$ et $b =\dfrac{4}{7}$, et donc $C = \begin{pmatrix}
\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}$.

\item On a :
\begin{align*}
X_{n+1} &  = U_{n+1} - C \\
        & = DU_n +E- C \\
        & = DU_n-DC\\
        & = D(U_n-C)\\
        & = DX_n.
\end{align*}

\item Par analogie avec les suites géométriques, on a donc :
\[
X_n = D^nX_0 =\begin{pmatrix}0,3^n & 0\\0 & 0,3^n
\end{pmatrix}\dbinom{\frac{13}{35}}{-\frac{13}{35}}\]
car :
\[
X_0 = U_0 - C = \begin{pmatrix}0,8\\0,2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\\[6pt]-\frac{13}{35}\end{pmatrix}.
\]
On a ensuite :
\begin{align*}
U_n &= X_n + C\\
& = \begin{pmatrix}0,3^n & 0\\0 & 0,3^n
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\\[6pt]-\frac{13}{35}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}\frac{13}{35}\times0,3^n+\frac{3}{7}\\[6pt]-\frac{13}{35}\times0,3^n+\frac{4}{7}\end{pmatrix}.
\end{align*}

\item 0,3 est strictement compris entre $-1$ et 1, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0,3^n=0$.

On peut donc en conclure que $\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\[6pt]\frac{4}{7}\end{pmatrix} = C$.

Ceci signifie qu'au bout d'un grand nombre d'années, le marché va se stabiliser, AFR ayant 3 parts sur 7 et BFM 4 parts sur 7.
\end{questions}
\end{questions}
