\begin{center}
\includegraphics{000_exos_matrice.eps}
\end{center}
\begin{questions}
\item \textit{Faux}. La puce n'a le choix qu'entre deux directions à partir de chaque sommet.
\[
M = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[6pt]
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\[6pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{pmatrix} \]

\item \textit{Faux}. $P_0 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

\item \textit{Vrai}. $P_1 = P_0 \times M =
\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}$.

\item \textit{Faux}. Si $S = \begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}$ est une distribution invariante du système, alors $S = SM$ et $a$, $b$ et $c$ sont solution du système :
\[ \left\{
\begin{aligned}
2a &= b+c \\
2b &= a+c, \text{ avec $a+b+c=1$.} \\
2c &= a+b
\end{aligned} \right.
\]
Chaque équation étant obtenue à partir d'une autre par permutation de $a$, $b$, $c$, on voit que  s'il y a des solutions, alors $a=b=c$. Donc la distribution invariante correspond à l'équiprobabilité des 3 positions.

Si l'état probabiliste converge, c'est vers la distribution invariante, donc au bout d'un grand nombre de sauts, la puce n'a donc pas plus de chance d'être sur un sommet plutôt qu'un autre.
\end{questions}
