\begin{questions}
\item La matrice de transition associée à cette chaîne de Markov est la suivante:
\[
T = \begin{pmatrix}
0 & 0,75 & 0,25\\
0,75 & 0 & 0,25\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

\item
\begin{questions}
\item Au début du jeu, Aline a la balle donc la distribution initiale est $\pi_0=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

\item Pour tout entier naturel $n$,  $\pi_n = \pi_0 T^n$ donc:
\[
\pi_5 = \pi_0 T^5 \approx \begin{pmatrix}
0,258 & 0,542 & 0,2
\end{pmatrix} \quad\text{(à la calculatrice)}
\]
Ainsi, la probabilité qu"Aline ait la balle au bout du cinquième lancer est d'environ 0,258.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve que $D=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -0,25 & 0\\
0 & 0 & -0,75
\end{pmatrix}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
D^n = \big(P^{-1}TP\big)^n = P^{-1}T\underbrace{PP^{-1}}_{=I_3}TP\cdots P^{-1}TP =  P^{-1} T^n P.
\]
On en déduit alors:
\[
P D^n P^{-1} = P P^{-1} T^n P P^{-1} = T^n
\]
soit:
\[
T^n = \begin{pmatrix}1&1&5\\1&1&-9\\1&-4&12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & (-0,25)^n & 0\\
0&0&(-0,75)^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{12}{35} & \frac{16}{35} & \frac{1}{5}\\
\frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{5}\\
\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} & 0
\end{pmatrix}
\]
On ne va pas chercher à aller plis loin dans ce genre de calculs car cela devient très vite fastidieux.

\item On a:
\begin{align*}
\pi_n &= \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&5\\1&1&-9\\1&-4&12\end{pmatrix}D^nP^{-1}\\
& = \begin{pmatrix}1&1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & (-0,25)^n & 0\\
0&0&(-0,75)^n
\end{pmatrix}P^{-1}\\
& = \begin{pmatrix}1 & (-0,25)^n & 5\times(-0,75)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\frac{12}{35} & \frac{16}{35} & \frac{1}{5}\\
\frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{5}\\
\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
Ainsi, la probabilité qu'Aline ait la balle au $n$-ième lancer est:
\[
\dfrac{12}{35}+\frac{3}{10}(-0,25)^n+\dfrac{5}{14}(-0,75)^n
\]
(on ne développe que les calculs sur la première colonne de $P^{-1}$).
\begin{Remarque}
on peut en déduire qu'à longs termes, cette probabilité sera proche de $\dfrac{12}{35}$ car $\lim\limits_{n\to+\infty}(-0,25)^n=\lim\limits_{n\to+\infty}(-0,75)^n=0$.

Dans un cas général, la distribution invariante du système est:
\[
\pi=\begin{pmatrix}
\dfrac{12}{35} & \dfrac{16}{35} & \dfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
\]
\end{Remarque}
\end{questions}
\end{questions}
