Pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
\begin{aligned}
u_n&= \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\
&=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)
\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}.
\end{aligned}
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\big(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\big)=+\infty$, donc  $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=0$.
\Par
Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=0$.

\begin{methode}[expression conjuguée]
Quand nous avons multiplié $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ par $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$, nous avons multiplié par l'\textit{expression conjuguée} de $u_n$.
\Par
Lorsque l'on doit calculer la limite d'une différence avec au moins une racine carrée, cette technique peut lever l'indétermination initiale.
\end{methode}
