\begin{questions}
\item On sait que : $-1\leqslant \sin(n) \leqslant1$, quelle que soit la valeur de $n$.

Donc, pour tout $n\in\N$ :
\[
-3\leqslant-3\sin(n)\leqslant3\quad\text{(par produit par $-3$ en inversant les bornes)}\;,
\]
d'où :
\[
2n^2-3\leqslant 2n^2-3\sin(n)\leqslant2n^2+3\text{ (en ajoutant $2n^2$ aux trois nombres)}.
\]

On a donc, en divisant l'encadrement précédent par le réel strictement positif $n^2+1$, pour tout $n\in\N$ :
\[ \dfrac{2n^2-3}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}.\]

Pour tout $n\in\N^*$,

\[
\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}=\dfrac{2n^2\left(1-\frac{3}{2n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=2\dfrac{1-\frac{3}{2n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}.
\]

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ donc, par produit et somme, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{3}{2n^2}\right)=1$.

De même, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)=1$.

D'où, par quotient et produit, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2-3}{n^2+1}=2$.

Par un procédé analogue, on a : $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2n^2+3}{n^2+1}=2$.

\Par

Donc, en utilisant le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=2$.
\end{questions}
