\subsectionnn{Partie A -- Approche à l'aide d'un algorithme}
\begin{questions}
\item \qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,-0.9){
\psframebox{\qrcode{https://idl-live.prepamath.fr/ILTM/suites-avec-un-programme.py}}}
\vspace*{-9mm}

\begin{listing}{Programme complété}{suites-avec-un-programme.py}\end{listing}


\item On obtient $u_{10}\approx5,021$, $u_{20}\approx7,595$, et $u_{100}\approx18,590$ à $10^{-3}$ près.

\item À la vue de ces valeurs, on peut penser que la suite tend vers $+\infty$.
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
1\leqslant i\leqslant n & \Rightarrow \sqrt{1}\leqslant\sqrt{i}\leqslant\sqrt{n} \text{ car la fonction racine carrée est croissante sur }\R_+\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{i}} \text{ car la fonction inverse est décroissante sur }\R_+^*.
\end{aligned}$

\item $u_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{i}}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

Ainsi, d'après la question précédente,
\[
u_n\geqslant\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{n}}
\]
soit :
\[
u_n\geqslant n\times\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
\]
On a donc bien $u_n\geqslant\sqrt{n}$.

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty$ donc par comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
\end{questions}
