\begin{questions}
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\begin{itemize}
\item $u_1=2-\dfrac{1}{u_0+2} = 2-\dfrac{1}{-1+2}=1$.
\item $u_2=2-\dfrac{1}{u_1+2} = 2-\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{5}{3}\approx1,67$.
\item $u_3=2-\dfrac{1}{u_2+2} = 2-\dfrac{1}{\frac{5}{3}+2}=\dfrac{19}{11}\approx1,73$.
\end{itemize}
On peut alors conjecturer que $(u_n)$ est croissante.

\item Montrons par récurrence que pour tout $n\neq0$, $0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: $u_1=1$ donc $0 \leqslant u_1 \leqslant \sqrt3$.
\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $k$ fixé, $0\leqslant u_k\leqslant\sqrt{3}$.
\begin{align*}
0\leqslant u_k\leqslant\sqrt{3} & \Longrightarrow 2\leqslant u_k+2\leqslant\sqrt{3}+2\\
& \Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt3+2}\leqslant \dfrac{1}{u_k+2}\leqslant\dfrac{1}{2}\\
& \Longrightarrow -\dfrac{1}{2}\leqslant -\dfrac{1}{u_k+2}\leqslant-\dfrac{1}{\sqrt3+2}\\
& \Longrightarrow 2-\dfrac{1}{2}\leqslant 2-\dfrac{1}{u_k+2}\leqslant2-\dfrac{1}{\sqrt3+2}\\
& \Longrightarrow 0 < \dfrac{3}{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant \sqrt3.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout entier naturel non nul $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3$.

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = 2-\dfrac{1}{u_n+2}-u_n\\
& = \dfrac{2u_n+4-1-u_n^2-2u_n}{u_n+2}\\
& = \dfrac{3-u_n^2}{u_n+2}>0
\end{align*}
Or, d'après la question précédente, $0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3$ donc $\begin{cases}
3-u_n^2 \geqslant 0\\
u_n+2 > 0
\end{cases}$.

Par conséquent, $(u_n)$ est croissante.

\item $(u_n)$ est croissante et majorée. Donc, d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.

\item Notons $\ell=\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)$. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2-\dfrac{1}{u_n+2}$ donc $\ell$ vérifie l'équation:
\begin{align*}
\ell = 2 - \dfrac{1}{\ell+2} & \iff \ell-2 = -\dfrac{1}{\ell+2} \\
& \iff (2-\ell)(\ell+2)=1\\
& \iff -\ell^2 = -3\\
& \iff \ell=-\sqrt3\text{ ou }\ell=\sqrt3.
\end{align*}
$0 \leqslant u_n \leqslant \sqrt3$ donc $0 \leqslant \ell \leqslant \sqrt3$.

\Par

Par conséquent, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=\sqrt3$.
\end{questions}
