\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $u_1=\dfrac{4}{3}$, $u_2=\dfrac{6}{5}$ et $u_3=\dfrac{8}{7}$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on a :
\begin{align*}
1+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1} & = \dfrac{(2u_n-1)+(u_n-1)}{2u_n-1}\\
& = \dfrac{3u_n-2}{2u_n-1}\\
& = u_{n+1}.
\end{align*}

\item  Soit ${\mathcal P}_n$ la propriété définie par : \og $u_n >1$ \fg.
\begin{itemize}
\item $u_0=2$ donc $u_0 >1$. ${\mathcal P}_0$  est donc vraie.
\item Supposons que ${\mathcal P}_k$ soit vraie au rang $k\geqslant 0$.

Alors, $2u_k-1>0$ et $u_k-1>0$, d'où $\dfrac{u_k-1}{2u_k-1}>0$, et donc : $u_{k+1}=1+\dfrac{u_k-1}{2u_k-1}>1$.

${\mathcal P}_{k+1}$ est donc vraie.
\end{itemize}
Donc, pour tout entier naturel $n$, ${\mathcal P}_n$  est vraie.

Alors, pour tout entier naturel $n$,  $u_n>1>\dfrac{1}{2}$.\par
Comme, pour tout entier naturel $n$, $u_n>\dfrac{1}{2}$, il en résulte que $2u_n-1$ est non nul et la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est donc bien définie pour tout $n$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item
Remarquons d'abord que, d'après la question précédente, pour tout $n$,\mbox{ $u_n\neq 1$} ; la suite $(v_n)$ est donc bien définie.\par
Pour tout entier naturel $n$ on a :
\[
v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}-1} = \dfrac{1}{\frac{3u_n-2}{2u_n-1}-\frac{2u_n-1}{2u_n-1}}= \dfrac{1}{\frac{3u_n-2-(2u_n-1)}{2u_n-1}}= \dfrac{2u_n-1}{u_n-1}\;.\]
D'où:
\[
v_{n+1}-v_n = \dfrac{2u_n-1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_n-1}= \dfrac{2(u_n-1)}{u_n-1}= 2\;.\]
La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $2$.

\item On calcule  $v_0=\dfrac{1}{ 2-1}=1$. Alors pour tout entier naturel $n$ :
\[
v_n=1+2n\qquad\text{et}\qquad
u_n=\dfrac{1}{v_n}+1=\dfrac{1+v_n}{v_n}=\dfrac{2n+2}{2n+1}.\]
\end{questions}
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\begin{attention}
Avant de travailler sur une suite, il faut toujours s'assurer (même si l'énoncé ne le précise pas) qu'elle est bien définie. Dans cet exercice, il est nécessaire, pour que la suite $(u_n)$ soit bien définie, que tous les termes de la suite soient différents de $\dfrac{1}{2}$. En général, une telle propriété se prouve en minorant ou en majorant les termes de la suite et se démontre par récurrence.
\end{attention}
\end{questions}
