\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item $u_1 = u_{0+1} = \dfrac{1}{3}u_0 + 0 - 2 = \dfrac{1}{3}-2 = -\dfrac{5}{3}$.
\item $u_2 = u_{1+1} = \dfrac{1}{3}u_1 + 1 - 2 = \dfrac{1}{3}\times\left(-\dfrac{5}{3}\right)-1 = -\dfrac{14}{9}$.
\item $u_3 = u_{2+1} = \dfrac{1}{3}u_2 + 2 - 2 = -\dfrac{14}{27}$.
\end{itemize}

\item
\begin{questions}
\item Montrons par récurrence que pour $n\geqslant4$, $u_n\geqslant0$.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}: $u_4=\dfrac{1}{3}u_3+3-2=-\dfrac{14}{81}+1=\dfrac{67}{81}\geqslant0$.
\item \textit{Hérédité}: supposons que pour un entier $k\geqslant$ fixé, $u_k\geqslant0$.

On souhaite alors démontrer que $u_{k+1}\geqslant0$, soit $\dfrac{1}{3}u_{k}+k-2\geqslant0$.

\Par

$k\geqslant4$ donc $k-2\geqslant2$. Or, par hypothèse de récurrence, $u_k\geqslant0$, donc $\dfrac{1}{3}u_k\geqslant0$ et $\dfrac{1}{3}u_k+k-2 \geqslant 2 \geqslant0$. Par conséquent, $u_{k+1}\geqslant0$.

\Par

L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, pour tout entier naturel $n\geqslant4$, $u_n\geqslant0$.

\item On déduit de la question précédente que pour tout entier naturel $m\geqslant4$, $u_m\geqslant0$ donc $u_{m+1}\geqslant0+m-2$.

En posant $n=m+1$, on déduit que pour tout entier naturel $n\geqslant5$, $u_n\geqslant (n-1)-2$, soit $u_n \geqslant n-3$.

\item $\lim\limits_{n\to+\infty} (n-3)=+\infty$ et $n\geqslant4\Rightarrow u_n\geqslant n-3$.

Ainsi, d'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=+\infty$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
v_{n+1} &=  -2u_{n+1}+3(n+1)-\dfrac{21}{2}\\
& = -2\left(\dfrac{1}{3}u_n+n-2\right)+3(n+1)-\dfrac{21}{2}\\
& = -\dfrac{2}{3}u_n-2n+4+3n+3-\dfrac{21}{2}\\
& = -\dfrac{2}{3}u_n + n - \dfrac{7}{2}\\
& = \dfrac{1}{3}\left(-2u_n + 3n - \dfrac{21}{2}\right) = \dfrac{1}{3}v_n.
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme:
\[
v_0=-2u_0+3\times0-\dfrac{21}{2}=-\dfrac{25}{2}.
\]
\item De la question précédente, on peut déduire que $v_n=v_0 \times q^n$ pour tout entier naturel $n$, donc $v_n=-\dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.

Or, $v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}{2}$ donc $u_n=\dfrac{1}{2}\left(v_n-3n+\dfrac{21}{2}\right)$. En remplaçant $v_n$ par l'expression trouvée précédemment, on obtient:
\[
u_n=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{21}{4}.
\]
\end{questions}

\item $\begin{aligned}[t]
S_n & = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k\\
& = \displaystyle\sum_{k=0}^n \left[ \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k+\dfrac{3}{2}k-\dfrac{21}{4} \right] \\
& = \dfrac{25}{4}\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{1}{3}\right)^k + \dfrac{3}{2}\sum_{k=0}^n k - \dfrac{21}{4}\times\underbrace{\sum_{k=0}^n 1}_{(n+1)\text{ termes}}\\
& = \dfrac{25}{4}\times\dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}} + \dfrac{3}{2}\times\dfrac{n(n+1)}{2} - \dfrac{21}{4}(n+1)\\\\
& = \dfrac{75}{8}\left(1-\dfrac{1}{3^{n+1}}\right) + \dfrac{3}{4}(n^2+n) - \dfrac{21}{4}n-\dfrac{21}{4}\\
S_n & = \dfrac{3}{4}n^2 - \dfrac{9}{2}n + \dfrac{33}{8} - \dfrac{75}{8\times3^{n+1}}.
\end{aligned}$
\end{questions}
