\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\forall x\in\R^*_+,\ f'(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2x^2}$ et :
\begin{align*}
f'(x)>0 & \iff \dfrac{1}{2}>\dfrac{7}{2x^2}\\
& \iff x^2>7\\
& \iff x>\sqrt{7}\text{ sur }]0~;+\infty[.
\end{align*}

Donc $f$ est décroissante sur $\left]0~;\sqrt{7}\right]$ et croissante sur $\left[\sqrt{7}~;+\infty\right[$. Ainsi, la fonction $f$ admet un minimum en $\sqrt{7}$, et ce minimum vaut $f\big(\sqrt7\big)=\sqrt7$.

\item $u_0=3\geqslant\sqrt7$.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $u_k\geqslant\sqrt7$.

Alors,
\[
u_{k+1}=f(u_k)\geqslant\sqrt7\]
d'après la question précédente. L'hérédité est alors démontrée.

On peut ainsi conclure que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\sqrt7$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{7}{u_n}\right)-u_n\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{u_n}-u_n\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7-u_n^2}{u_n}\right).
\end{aligned}$

Pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\sqrt{7}$ donc $u_n^2\geqslant 7$.

Par conséquent, $u_{n+1}-u_n\leqslant0$.

\item La suite est décroissante et minorée par $\sqrt{7}$.

Elle est donc convergente.

\item $f$ est continue, $u_{n+1}=f(u_n)$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Par conséquent, $\ell=f(\ell)$.

On doit alors résoudre cette équation.
\begin{align*}
\ell=\dfrac{1}{2}\left(\ell+\dfrac{7}{\ell}\right)
&  \iff 2\ell=\ell+\dfrac{7}{\ell}\\
&  \iff \ell^2=7\\
& \iff \ell = \sqrt7\text{ (car }u_n>0).
\end{align*}
\end{questions}

\item Pour tout $n$,
\begin{align*}
u_{n+1} -\sqrt{7}&=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{7}{u_n}\right)-\sqrt{7} \\
& = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_n^2+7-2u_n\sqrt{7}}{u_n}\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_n-\sqrt{7}\right)^2}{u_n}.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item $u_0-\sqrt{7}=3-\sqrt{7}\approx0,354$, et $d_0=1$  donc $u_0-\sqrt{7}\leqslant d_0$.

\par


Supposons que pour une valeur de $k$ fixée, $u_k-\sqrt{7}\leqslant d_k$.

Montrons qu'alors $u_{k+1}-\sqrt{7}\leqslant d_{k+1}$.

\begin{align*}
u_k-\sqrt{7} \leqslant d_k & \Rightarrow \left(u_k-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant d_k^2\text{ après avoir élevé au carré}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left(u_k-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant\dfrac{1}{2} d_k^2\text{ après avoir divisé par 2}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left(u_k-\sqrt{7}\right)^2 \leqslant d_{k+1}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_k-\sqrt{7}\right)^2}{u_k}\leqslant\dfrac{d_{k+1}}{u_k}\text{ après avoir divisé par }u_k\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(u_k-\sqrt{7}\right)^2}{u_k}\leqslant d_{k+1}.
\end{align*}

\Par

La dernière inégalité provient du fait que $u_k\geqslant\sqrt{7}>1$.

On a donc bien $u_{k+1}-\sqrt{7}\leqslant d_{k+1}$. L'hérédité est alors prouvée.

\Par

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n-\sqrt{7}\leqslant d_n$.

\item $d_5\leqslant 10^{-9}$. On a :
\[
u_5-\sqrt{7}\leqslant d_5 \leqslant 10^{-9}.
\]

Donc $u_5$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{-9}$ près.
\end{questions}
\end{questions}
