\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation :} pour $n=1$, on a $\displaystyle\sum_{p=1}^1\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{1}{1\times(1+1)}=\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$. Donc $\displaystyle\sum_{p=1}^1\dfrac{1}{p(p+1)}=\dfrac{1}{1+1}$; l'égalité est donc vraie.

\item \emph{Hérédité :} soit $k$ un entier non nul arbitrairement fixé; supposons l'égalité vraie au rang $k$:
\vspace*{-0.5em}
\[
\sum_{p=1}^k\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{k}{k+1}.
\]
On veut montrer que l'égalité est vraie au rang $(k+1)$, soit :
\[
\sum_{p=1}^{k+1}\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{k+1}{k+2}.
\]

En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a :
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\begin{align*}
\sum_{p=1}^{k+1}\dfrac{1}{p(p+1)}
&=\sum_{p=1}^{k}\dfrac{1}{p(p+1)} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\\
& =  \dfrac{k}{k+1} + \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\\
& = \dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}\\
& = \dfrac{k+1}{k+2}.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
L'égalité est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
