\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item On considère que chaque jour, le comportement du perroquet est indépendant de son comportement de la veille. Il y a chaque jour trois possibilités, mais comme on s'intéresse uniquement au fait que le perroquet commence par aller boire ou non, on peut considérer que l'expérience est la répétition de 3 épreuves de Bernoulli dont le succès est \og Le perroquet commence par boire \fg, avec une probabilité de $\dfrac{1}{4}$. Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(3~;\dfrac{1}{4}\right)$.

\item Par définition, le nombre de chemins associés à l'événement \linebreak$(X=1)$ est $\dbinom 3 1 =3$.\enlargethispage*{2em}

$P(X=1)=\dbinom 3 1 \times \dfrac{1}{4}\times \left( \dfrac{3}{4}\right) ^2=\dfrac{27}{64}$.

$P(X=3)=\dbinom 3 3 \times \left( \dfrac{1}{4}\right)  ^3=\dfrac{1}{64}$.

\item L'événement \og Le perroquet commence par aller boire au moins une fois \fg{} est le contraire de l'événement \og Le perroquet ne commence jamais par aller boire \fg. La probabilité cherchée est donc $1-P(X=0)=1-\left( \dfrac{3}{4}\right) ^3=\dfrac{37}{64}\approx0,58$.
\end{questions}

\item Par un raisonnement identique à celui de la question précédente, sur une période de $n$ jours, la probabilité que le perroquet ait commencé par aller boire au moins une fois est $1-0,75^n$.

On veut $1-0,75^n>0,95$, c'est-à-dire $0,75^n<0,05$. On sait que la suite géométrique de raison $0,75$ est une suite décroissante car\linebreak$0<0,75<1$. En calculant à la calculatrice  les termes successifs de cette suite, on trouve que le premier entier tels que $0,75^n<0,05$ est $n=11$.
\end{questions}
