\begin{questions}
\item\label{ch10ex10q1}
\begin{questions}
\item D'après les propriétés du cube, on a $\gvec{AE}=\gvec{CG}$. Or, $\gvec{AI}=\dfrac{1}{2}\gvec{AE}$ et $\gvec{CL}=\dfrac{1}{2}\gvec{CG}$, donc $\gvec{AI}=\gvec{CL}$,  ce qui prouve que le quadrilatère AILC est un parallélogramme.

\item\label{ch10ex10qb} $\gvec{JK}=\gvec{JB}+\gvec{BK}$ d'après la relation de Chasles (vue en seconde). Donc,
\begin{align*}
\gvec{JK}& = \dfrac{1}{4}\gvec{AB}+\dfrac{1}{4}\gvec{BC}\\
& = \dfrac{1}{4}\gvec{AC}.
\end{align*}

Or, comme AILC est un parallélogramme, $\gvec{AC}=\gvec{IL}$. On a donc bien $\gvec{JK}=\dfrac{1}{4}\gvec{IL}$.

\item D'après la question \ref{ch10ex10qb}, les points I, J, K et L sont coplanaires. De plus, les droites (IJ) et (KL) ne sont pas parallèles. En effet, \linebreak$\gvec{JK}=\dfrac{1}{4}\gvec{IL}$ donc $\gvec{JI}+\gvec{IK}=\dfrac{1}{4}\left(\gvec{IK}+\gvec{KL}\right)$ et donc\\ $\gvec{JI}=-\dfrac{3}{4}\gvec{IK}+\dfrac{1}{4}\gvec{KL}$. Les droites (IK) et (KL) étant sécantes en K, le vecteur ne peut s'exprimer en fonction du vecteur $\gvec{KL}$. Par conséquent, le vecteur $\gvec{JI}$ n'est pas colinéaire au vecteur $\gvec{KL}$.

Elles se coupent donc en un point R.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item\label{ch10ex10q2a} Les plans (AEB) et (BCG) se coupent suivant la droite (BF).
\item On connaît trois points appartenant à la fois aux plans (AEB) et (BCG) : le point B et le point F d'après la question \ref{ch10ex10q2a}, et le point R d'après la question \ref{ch10ex10q1}, puisque R est l'intersection d'une droite incluse dans le plan (AEB) et d'une droite incluse dans le plan (BCG).

Comme l'intersection de deux plans non parallèles et non confondus est une droite, les points B, F et R sont alignés, ce qui prouve que R appartient à (BF).

Donc les droites (IJ), (KL) et (BF) sont bien sécantes en R.
\end{questions}
\end{questions}

\begin{center}
\includegraphics{420_vectesp-05}
\end{center}
