\begin{questions}
\item Pour construire le point $K$ tel que $\gvec{BK}=\dfrac{3}{2}\gvec{BG}$, il faut construire la somme $\gvec{BG}+\dfrac{1}{2}\gvec{BG}$, en rouge sur la figure page ci-contre.

L'extrémité obtenue est alors le point $K$.

\begin{center}
\includegraphics{421_vectesp-07}
\end{center}

\item
\begin{questions}
\item \textit{Position relative de $(AM)$ et $(BK)$.}

$A$ et $M$ sont sur le plan $(ADE)$.

$B$ et $K$ sont sur le plan $(BFC)$.

Or, $(ADE)$ et $(BFC)$ sont parallèles. Par conséquent, $(AM)$ et $(BK)$ sont parallèles.

\item \textit{Position relative de $(EO)$ et $(FG)$.}

$(EO) \in (EAB)$ et $(FG)\in(FBC)$.

Or, $(EAB)\perp(FBC)$ donc $(EO)$ et $(FG)$ sont orthogonales.


\item \textit{Position relative de $(EM)$ et $(AD)$.}

$E$, $M$, $A$ et $D$ sont coplanaires. De plus,
\begin{align*}
\gvec{EM} & = \gvec{EA}+\gvec{AM}\\
& = -\gvec{AE} + \dfrac{1}{4}\gvec{AH}\\
& = -\gvec{AE}+\dfrac{1}{4}\big(\gvec{AD}+\gvec{DH}\big)\\
& = -\gvec{AE}+\dfrac{1}{4}\big(\gvec{AD}+\gvec{AE}\big)\\
& = -\dfrac{3}{4}\gvec{AE}+\dfrac{1}{4}\gvec{AD}.
\end{align*}
Donc $\gvec{EM}$ n'est pas colinéaire à $\gvec{AD}$.

Ainsi, $(EM)$ et $(AD)$ sont sécantes.
\end{questions}

\item Utilisons la relation de Chasles:
\begin{align*}
\gvec{MN} & = \gvec{MA} + \gvec{AB} + \gvec{BN}\\
& = -\dfrac{1}{4}\gvec{AH} + \gvec{AB} + \dfrac{1}{4}\gvec{BD}\\
& = -\dfrac{1}{4}\big(\gvec{AD}+\gvec{AE}\big) + \gvec{AB} + \dfrac{1}{4}\big(\gvec{AD}-\gvec{AB}\big)\\
& = -\dfrac{1}{4}\gvec{AE}+\dfrac{3}{4}\gvec{AB}.
\end{align*}

On en déduit que $\gvec{MN}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\gvec{AB}$ et $\gvec{AE}$, c'est-à-dire que $(MN)$ est parallèle au plan engendré par $\gvec{AB}$ et $\gvec{AE}$, soit au plan $(AEB)$.

\item
%\begin{methode}
%Quand la relation de Chasles ne donne pas rapidement la décomposition souhaitée, ou quand on ne voit pas comment décomposer un vecteur pour arriver à l'égalité demandée, on peut exprimer les quantités vectorielles comme combinaisons linéaires de trois mêmes vecteurs.
%\end{methode}
Nous allons ici exprimer $\gvec{OI}$ et $\dfrac{1}{2}\gvec{AM}+\dfrac{1}{2}\gvec{BN}$ en fonction de $\gvec{AB}$, $\gvec{AD}$ et $\gvec{AE}$.


\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{1}{2}\gvec{AM}+\dfrac{1}{2}\gvec{BN} & = \dfrac{1}{2}\big(\gvec{AM}+\gvec{BN}\big)\\
& = \dfrac{1}{2}\left[ \left( \dfrac{1}{4}\gvec{AD}+\dfrac{1}{4}\gvec{AE} \right) + \left( \dfrac{1}{4}\gvec{AD}-\dfrac{1}{4}\gvec{AB} \right) \right]\\
% & = \dfrac{1}{2}\left[ \left( \dfrac{1}{4}\gvec{AD}+\dfrac{1}{4}\gvec{AE} \right) + \left( \dfrac{1}{4}\gvec{AD}-\dfrac{1}{4}\gvec{AB} \right) \right]\\
& = -\dfrac{1}{8}\gvec{AB} + \dfrac{1}{4}\gvec{AD} + \dfrac{1}{8}\gvec{AE}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\gvec{OI} & = \gvec{OA} + \gvec{AM} + \gvec{MI}\\
& = -\dfrac{1}{2}\gvec{AB} + \left(\dfrac{1}{4}\gvec{AD}+\dfrac{1}{4}\gvec{AE}\right) + \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{3}{4}\gvec{AB}-\dfrac{1}{4}\gvec{AE} \right)\\
& = -\dfrac{1}{8}\gvec{AB} + \dfrac{1}{4}\gvec{AD} + \dfrac{1}{8}\gvec{AE}.
\end{aligned}$
\end{itemize}

On en conclut alors que $\gvec{OI}=\dfrac{1}{2}\gvec{AM}+\dfrac{1}{2}\gvec{BN}$.

\item On a d'une part:
\[
\gvec{OI}=\dfrac{1}{2}\gvec{AM}+\dfrac{1}{2}\gvec{BN}
\]
et d'autre part,
\begin{align*}
\gvec{O'I} & = \dfrac{1}{2}\gvec{HM} + \dfrac{1}{2}\gvec{DN}\\
& = \dfrac{1}{2}\times(-3)\gvec{AM} + \dfrac{1}{2}\times(-3)\gvec{BN}\\
& = -3\gvec{OI}.
\end{align*}
Ainsi, $\gvec{OI}$ et $\gvec{O'I}$ sont colinéaires.

Les points $O$, $O'$ et $I$ sont donc alignés.
\end{questions}
