\begin{questions}
\item
\textit{Faux}. Si $k$ est non nul, le point $M$ ne pourra jamais être confondu avec $A$. L'ensemble obtenu sera donc la droite $(AB)$ privée de $A$.

\item
\textit{Vrai}. Si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$ alors $C=H$ et l'égalité est vraie. Sinon, $\gvec{AB}\cdot \gvec{AC}=\gvec{AB}\cdot \gvec{AH}+\gvec{AB}\cdot \gvec{HC}$. Or, les droites $(AB)$ et $(HC)$ sont orthogonales donc $\gvec{AB}\cdot \gvec{HC}=0$.\\
Par suite, $\gvec{AB}\cdot \gvec{AC}=\gvec{AB}\cdot \gvec{AH}$.

\item
\textit{Faux}. $\gvec{AB}\cdot \gvec{AC}=\gvec{AB}\cdot \gvec{AD}$ équivaut à  $\gvec{AB}\cdot \gvec{DC}=0$ donc les vecteurs  $\gvec{AB}$ et  $\gvec{CD}$ sont orthogonaux et non colinéaires.

\item
\textit{Vrai}. On commence par transformer l'équation de la sphère en\linebreak[4] $x^2+(y-3)^2+(z-2)^2=9$. La sphère est de centre $I(0~;3~;2)$ et de rayon 3.

On s'assure que le point $A$ appartient bien à cette sphère puisque ses coordonnées vérifient l'équation trouvée. Le plan tangent à la sphère au point $A$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\gvec{AM}\cdot \gvec{IA}=0$. En calculant ce produit scalaire, on obtient ainsi une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ :  $x-2y+2z-7=0$.
\end{questions}
