Il s'agit de démontrer que  $Z=\overline{Z}$.
\par
Calculons donc :
\[
Z-\overline{Z}=\dfrac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}-
\dfrac{\overline{z_1}+\overline{z_2}}{1+\overline{z_1}\overline{z_2}}.
\]
En réduisant au même dénominateur :
\begin{align*}
Z-\overline{Z}&=\dfrac{z_1+z_2+\overline{z_1}\overline{z_2}z_1+
\overline{z_1}\overline{z_2}z_2-\overline{z_1}-\overline{z_2}-
\overline{z_1}z_1z_2-\overline{z_2}z_2z_1}{(1+z_1z_2)
(1+\overline{z_1}\overline{z_2})}.\\
\intertext{Comme \
$|z_1|^2 = z_1\overline{z_1}=1$ \ et \
$|z_2|^2 = z_2\overline{z_2}=1$, on obtient :}
Z-\overline{Z}&=\dfrac{z_1+z_2+\overline{z_1}+\overline{z_2}-z_1-z_2-
\overline{z_1}-\overline{z_2}}{(1+z_1z_2)
(1+\overline{z_1}\overline{z_2})}=0.
\end{align*}
Ainsi, $Z$ est réel.
%
\begin{methode}
Pour montrer qu'un nombre complexe $Z$ est réel, on peut
\begin{itemize}
\item
montrer que sa partie imaginaire est nulle
\item
montrer qu'il est non nul et qu'il admet un argument de la forme $k\pi$ où $k$ désigne un entier relatif
\item
montrer qu'il est égal à son conjugué.
\end{itemize}
\end{methode}
