\begin{methode}
Dès lors que nous devons étudier la limite d'une fonction comportant un sinus ou un cosinus, il sera très souvent utile de partir de l'encadrement:
\[
\forall x\in\R,\
-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1\qquad\text{ou}\qquad
-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1.
\]
\end{methode}

Pour tout réel $x$,
\begin{align*}
-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 & \iff -2 \leqslant 2\sin(x) \leqslant 2\\
& \iff 1 \leqslant 3+2\sin(x) \leqslant 5\\
& \iff \dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{3+2\sin(x)} \leqslant 1\\
& \iff  \dfrac{x^2}{5} \leqslant \dfrac{x^2}{3+2\sin(x)} \leqslant x^2.
\end{align*}
Les deux bornes de l'encadrement tendent vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ donc on ne prend que la partie gauche de l'encadrement:
\[
\dfrac{x^2}{5} \leqslant \dfrac{x^2}{3+2\sin(x)}
\]
qui nous assure, par comparaison, que $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{3+2\sin(x)}=+\infty$.
