\begin{questions}
\item \textit{Faux}. La fonction racine carrée est bien définie sur $\left[0~;+\infty\right[$ mais elle n'est pas dérivable en 0.

\item \textit{Faux}. La fonction $f$ n'admet un extremum en $a$ que si sa dérivée s'annule en changeant de signe en $a$. Ainsi la fonction définie sur $\R$ par\linebreak
$f(x)=x^3$ a sa dérivée qui s'annule en 0 puisque, pour tout $x$ réel, $f'(x)=3x^2$. Cependant, elle n'admet pas d'extremum en 0.

\item \textit{Faux}. Pour $x \neq 2$, $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{\left|x-2\right|}{x-2}$.

Pour $x>2$,
\[ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=1\]
et pour $x<2$,
\[ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=-1.\]
La limite de $f$ en 2 à gauche est donc égale à 1 alors que celle en 2 à droite est $-1$.

La fonction $x\mapsto \left|x-2\right|$ n'est pas donc dérivable en 2.

\item \textit{Faux}. Pour s'en convaincre, on peut prendre $g(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=x$. La fonction $g$ n'est pas dérivable en 0 alors que la fonction $f$ l'est. La fonction $fg$ définie pour tout réel $x$ positif par $(fg)(x)=x\sqrt{x}$ est dérivable en 0 et $(fg)'(0)=0$.
\end{questions}
