\begin{questions}
\item $f(x)=\nep^{x^2-1}$ est de la forme $\nep^{u}$ avec:
\[
u(x)=x^2-1\qquad;\qquad u'(x)=2x.
\]
Ainsi,
\[
f'(x)=u'(x) \times \nep^{u(x)} = 2x\nep^{x^2-1}.
\]
$f'$ est de la forme $u \times v$ avec:

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2x$\\
$u'(x)=2$

\columnbreak

$v(x)=\nep^{x^2-1}$\\
$v'(x)=2x\nep^{x^2-1}$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
f''(x) & = (u'v + uv')(x)\\
& = 2\nep^{x^2-1} + 2x \times 2x\nep^{x^2-1}\\
& = (2+4x^2)\nep^{x^2-1}.
\end{align*}

Or, $2+4x^2 > 0$ et $\nep^{x^2-1}>0$ sur $\R$.

Par conséquent, $f$ est convexe sur $\R$.

\item L'équation de la tangente $(T_1)$ à $\cal C$ au point d'abscisse 1 est donnée par la formule du cours vue en Première:
\[
(T_1)\;:\;y = f'(1)(x-1)+f(1)\,,\quad\text{avec }f(0)=\nep^{1^2-1}=1\text{ et }f'(1)=2.
\]
On obtient alors:
\[
(T_1)\;:\;y=2(x-1)+1
\]
soit:
\[
(T_1)\;:\;y=2x-1.
\]

\item $f$ est convexe sur \R, ce qui signifie que $\cal C$ est toujours au-dessus de ses tangentes, y compris $(T_1)$. Cela se traduit par l'inégalité:
\[
f(x) \geqslant 2x+1
\]
et donc:
\[
\nep^{x^2} \geqslant 2x+1.
\]
\end{questions}
