On a :
        \[ (\ln{x})^2 - 4\ln{x} + 3 < 0. \]
    On résout cette inéquation par un changement de variable : $X = \ln{x}$, avec $x > 0$.
        \[ (\ln{x})^2 - 4\ln{x} + 3 < 0 \quad \iff \begin{cases} X^2 - 4X + 3 < 0 \\ X = \ln x. \end{cases} \]
    Résoudre $X^2 - 4X + 3 < 0$ est un problème classique de signe d'un trinôme du second degré.

        \begin{itemize}
            \item Le discriminant vaut : $\Delta = 16 - 4\times 3 = 4 = 2^2$.

            \item Il y a donc deux racines qui sont:
                \[ X_{1} = \dfrac{4 - 2}{2} = 1 \quad \text{ et } \quad X_{2} = \dfrac{4 + 2}{2} = 3. \]
            \item Par la règle du signe d'un trinôme, on déduit que $X^2 - 4X + 3$ est négatif (du signe opposé du coefficient de $X^2$, qui est $1$) entre les racines. On obtient donc :
                \[ X^2 - 4X + 3 < 0 \iff X \in \left]  1\, ; 3  \right[ \]
        \end{itemize}

        \begin{center}
            \includegraphics{158_ln-fig5}
        \end{center}

    Il faut maintenant revenir à la variable initiale $x$ :
\[
\left.
\begin{array}{l}
X \in \left] 1\,; 3 \right[ \\
X = \ln x
\end{array}
\right\} \iff 1 < \ln x < 3 \iff \ln \nep < \ln x < \ln \nep^3.
\]
    Comme $\ln$ est strictement croissante de $] 0\, ; + \infty[$ dans $\R$ :
        \[ \ln \nep < \ln x < \ln \nep^3 \iff \nep < x < \nep^3. \]
    Les solutions vérifient donc: $x > 0 \quad \text{ et } \quad x \in \bigl] \nep\, ; \nep^3 \bigr[$.\\
    L'ensemble des solutions est l'intervalle : $\bigl] \nep\, ; \nep ^{3}\bigr[$.
