\subsectionnn{Partie A}
 \begin{questions}
 \item
 La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;+\infty[$ d'après les opérations sur les fonctions dérivables.

 Pour tout réel $x$ tel que $x > 0$, on a :
 \[  f'(x)=-1-\dfrac{1}{x}.  \]
 Pour tout réel $x$ strictement positif on a $f'(x) < 0$. On en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;+\infty[$.\\

 D'après les limites usuelles,
 \[  \lim_{x\to 0}f(x) = +\infty,  \]
  \[  \lim_{x\to +\infty}f(x) = -\infty . \]

 On dresse alors le tableau de variation de la fonction $f$.
 \[
 \begin{array}{|C|cccc|}
 \hline\tabulartitle
 x&0&&&+\infty\\
 \hline
 f'(x)&\dvline&&-&\\
 \hline
 &\dvline&+\infty&&\\
 f&\dvline&&\searrow&\\
 &\dvline&&&-\infty\\
 \hline
 \end{array}
 \]

 \item La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $[2~;3]$; $f(2)=1-\ln2$ et $f(3)=-\ln3$ donc $f(2) > 0$ et $f(3) < 0$. Il en résulte, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2~;3]$.

\item À l'aide de la calculatrice, on trouve une valeur approchée de $\alpha$: $\alpha \approx 2,208$.


 \item
 La fonction $f$ s'annule en $\alpha$ et elle est strictement décroissante sur $\left]0~;+\infty\right[$. On en déduit que $f$ est strictement positive sur $\left]0~;\alpha \right[$ et strictement négative sur $\left]\alpha~;+\infty\right[$.

 \end{questions}


\subsectionnn{Partie B}

 \begin{questions}
 \item
 La fonction $g$ est dérivable sur $\left]0~;+\infty\right[$  comme produit de deux fonctions dérivables sur $\left]0~;+\infty\right[$.\\
 Pour tout réel $x$, on a :
 \[
 g'(x)=\dfrac{1}{x^2}(2-\ln x )+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\left(-\dfrac{1}{x}\right)\;,
 \]
 soit :
 \[
 g'(x) = \dfrac{3-x-\ln x}{x^2}=\dfrac{f(x)}{x^2}.
 \]

 \item \label{chap7ex8B2}
 Comme $x^2$ est strictement positif sur $\left]0~;+\infty\right[$, $g'(x)$ a même signe que $f(x)$. On en déduit que $g'(x)$ est strictement positif sur $\left]0~;\alpha \right[$ et strictement négatif sur $\left]\alpha~;+\infty\right[$.
 Il en résulte que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\left]0~;\alpha \right[$ et strictement décroissante sur $\left]\alpha~;+\infty\right[$. Elle admet un maximum en $\alpha$.\\
 D'après les limites usuelles,
 \[
 \lim_{x\to 0}g(x) = -\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to +\infty}g(x) = -\infty.
 \]

 On dresse alors le tableau de variations de la fonction $g$.
 \Par
 \[
\begin{array}{|C|lcccr|}
                        \hline
x& 0 & &\alpha & &\infty\\
   \hline
g'(x) & &+&0&-& \\
\hline
&&& g(\alpha) &&\\
g&&\nearrow&&\searrow&\\
&-\infty &&&&-\infty\\
\hline
\end{array}
\]

\item
On a :
\[
g(\alpha)=\left(1-\dfrac{1}{\alpha}\right)(2-\ln\alpha).
\]
Or, $f(\alpha)=0$ donc $3-\alpha-\ln\alpha=0$.\\
On en déduit que $\ln\alpha=3-\alpha$.\\
En remplaçant cette valeur dans l'expression de $g(\alpha)$, on obtient :
\[
g(\alpha)=\left(1-\dfrac{1}{\alpha}\right)(-1+\alpha)\;,
\]
soit, après transformation,
\[
g(\alpha)= \dfrac{\left(\alpha-1\right)^2}{\alpha}.
\]

\item
\`A la question \ref{chap7ex8B2} de la partie A, on a établi l'encadrement :
\[ 2,20<\alpha<2,21. \]
On ne peut pas encadrer $g(\alpha)$ par $g(2,20)$ et $g(2,21)$ car $g$ n'est pas monotone sur $[2,20~;2,21]$.\\
On peut par contre utiliser le résultat de la question précédente\linebreak[4] $g(\alpha)= \dfrac{\left(\alpha-1\right)^2}{\alpha}$ pour donner un encadrement de $g(\alpha)$.\\
La fonction carré étant strictement croissante sur $\left]0~;+\infty\right[$, on a :
\[ 1,2^2<(\alpha-1)^2<1,21^2. \]
La fonction inverse étant strictement décroissante sur $\left]0~;+\infty\right[$, on a :
\[ \frac{1}{2,21}<\frac{1}{\alpha}<\frac{1}{2,20} .\]
On en déduit alors que :
\[ \frac{1,2^2}{2,21}<\frac{(\alpha-1)^2}{\alpha}<\frac{1,21^2}{2,20} .\]
\`A l'aide de la calculatrice, on peut alors donner un encadrement de $g(\alpha)$ d'amplitude 0,02 :
\[ 0,65<g(\alpha)<0,67. \]

\item
En remarquant que $g(1)=g(\nep^2)=0$ et en exploitant le tableau de variation de la fonction $g$ obtenu à la question 2 de la partie B, on déduit le signe de $g(x)$ sur $]0~;+\infty[$.\\
$g(x)< 0$ sur $]0~;1[$ et sur $\left]\nep^2~;+\infty\right[$ et $g(x)>0$ sur $\left]1~;\nep^2\right[$.
\end{questions}
