\begin{questions}
\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
a_n = \ln(u_n)-2 & \iff a_n+2 = \ln(u_n)\\
& \iff u_n = \nep^{a_n+2}.
\end{align*}

\Par

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
a_n = \ln(u_n)-2 & \iff a_{n+1} = \ln(u_{n+1})-2\\
& \iff a_{n+1} = \ln\big(\nep\sqrt{u_n}\big) - 2\\
& \iff a_{n+1} = \ln\nep + \ln\sqrt{u_n} - 2\\
& \iff a_{n+1} =  \dfrac{1}{2}\ln(u_n) - 1\\
& \iff a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\big( \ln(u_n) - 2\big)\\
& \iff a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n.
\end{align*}

\Par

On en déduit alors que $(a_n)$ est une suite géométrique de premier terme:
\[
a_0 = \ln(u_0)-2 = \ln\big(\nep^3\big)-2 = 3-2= 1 \text{ et de raison }\frac{1}{2}.
\]
%et de raison $\dfrac{1}{2}$.

\item De la nature de $(a_n)$, on déduit que pour tout entier naturel $n$,
\[
a_n = a_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \dfrac{1}{2^n}
\]
et de la question 1, on déduit que:
\[
u_n = \nep^{a_n+2} = \nep^{2+\frac{1}{2^n}}.
\]

\item $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2^n}=0$ donc de l'expression précédente, on déduit que:
\[
\lim_{n\to+\infty}(u_n)=\nep^{2}.
\]
\item On peut montrer que $(u_n)$ est décroissante et donc que $u_n\geqslant\nep^2$ pour tout entier naturel $n$. On cherche donc ici le premier entier $n$ pour lequel:
\begin{align*}
u_n-\nep^2 \leqslant 10^{-3} & \iff \nep^2\left( \nep^{1/2^n} - 1\right) \leqslant 10^{-3}\\
& \iff \nep^{1/2^n} \leqslant 10^{-3}\times\nep^{-2} + 1\\
& \iff \ln\left( \nep^{1/2^n} \right) \leqslant \ln\big(10^{-3}\times\nep^{-2} + 1\big)\\
& \iff \dfrac{1}{2^n} \leqslant \ln\big(10^{-3}\times\nep^{-2} + 1\big)\\
& \iff 2^n \geqslant \dfrac{1}{ \ln\big(10^{-3}\times\nep^{-2} + 1\big)}\\
& \iff n \geqslant \ln\left[ \dfrac{1}{ \ln\big(10^{-3}\times\nep^{-2} + 1\big)} \right]\times\dfrac{1}{\ln2}\\
% ERRVOL & \iff n \geqslant 10.
& \iff n \geqslant 13.
\end{align*}
\end{questions}
